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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 请教一道不等式证明题
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youhuan

金虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
bluesine(金币-10,VIP+0):应要求转移金币 12-12 23:02
如果看不清第一个条件，则可以点击：附件 1:  题目.JPG (2009-12-10 19:46, 27.54 K)
就可以下载这个完整题目的清楚版！
感谢Pchief！希望版主能扣我10个金币奖励给Pchief！
等待更一般的结果（如果能得到正确的证明，至少奖励20个金币）！
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11楼2009-12-11 21:24:59
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youhuan

金虫 (正式写手)
★
formleaf(金币+1,VIP+0):谢谢你提供思路！ 12-11 23:50
能否考虑用P范数去证明那？
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12楼2009-12-11 21:41:37
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
bluesine(金币+10,VIP+0):应楼主要求转移金币，您就收下吧哈~~ 12-12 23:03
引用回帖:
Originally posted by youhuan at 2009-12-11 21:24:
如果看不清第一个条件，则可以点击：附件 1:  题目.JPG (2009-12-10 19:46, 27.54 K)
就可以下载这个完整题目的清楚版！
感谢Pchief！希望版主能扣我10个金币奖励给Pchief！
等待更一般的结果（如果能得到正确 ...

不用给金币了，想不出来，我也头痛哪。
你要证明的这个东西，有几种解释：

1. 两个n维向量的1-范数相等，也就是说在同一个1-范数球面上，但是甲向量的2-范数大于乙向量的2-范数，试问当p>1时，甲向量的p-范数是否也大于乙向量的p-范数，这涉及到不同的p-范数，其球面形状究竟如何的问题；（当p<1时不能叫p-范数，因为它不是范数）；

2. 两个n点均匀概率分布，数学期望相等，但是甲分布的方差大于乙分布的方差，试问当p>1时甲分布的p阶原点矩是否也大于乙分布的p阶原点矩。
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13楼2009-12-12 15:28:36
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hellogod

木虫 (正式写手)

是吗？

★
bluesine(金币+1,VIP+0):鼓励新虫子，还有常来数学版讨论交流~~ 12-12 23:03
上楼是在用特例证一般。可以用来启发思维，但不能用于证明。为什么是均匀分布？甚至都不是独立的。
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14楼2009-12-12 17:58:08
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★
bluesine(金币+3,VIP+0):专家辛苦了，鼓励一下~ 12-12 23:04
我现在不是还没证出来嘛！只是给个解释而已。

如果后面这些命题有一个能够得到肯定的回答，原来的命题当然也就得到证明了。

所谓n点均匀分布，我承认是我用词不当，我的意思是能够取n个值，而取每个值的概率是1/n，而不是连续型的那种均匀分布。

至于独立不独立，跟这个问题有什么关系？必要时总可以假定是独立的。
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15楼2009-12-12 20:04:49
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youhuan

金虫 (正式写手)
继续等待ing！！
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16楼2009-12-14 12:27:05
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★ ★
bluesine(金币+3,VIP+0):不管正确与否，辛苦了~ 12-14 14:49
个人觉得这个结论之错误的

为了叙述的方便，记：F(p)=\sum_1^n (x^p_i - y^p_i)。x_i,y_i都为正数

你的结论就是：如果 F(1)=0，F(2)>0，则对任何 p>1, F(p)>0

很容易得到这个结论的一个推论：如果 F(1)=0, F(2)=0, 则 F(p)=0。（实际上这个推论等价与原来的结论）

这个推论是不可能的，比如 n=3，反例如下：
设x，y分别为： 1, 3, 3； 2, (5+根5)/2, (5-根5)/2。
当然你也可以用这几个数构造原来结论的反例。
只需要将1,3,3改为 1+s, 3-s, 3。s为小正数。

对于n=2，实际上有F(1)=0,F(2)=0。直线与圆的交点有一个或两个（把y看成给定的数，x为未知的），也就是说在按大小排列下是唯一的，有F(p)=0

对于n>3，交点可能不唯一。所以结论就难说了。

一下两个相似的结论是成立的
1、如果 x_i=c（所有的x_i 都是相等的），如果F(1)=0, F(2)>0，则F(p)>0（p>1）
2、如过对于自然数n，对于n个不相等的正数 c_10，则F(p)>0(对p>c_n)
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17楼2009-12-14 14:26:31
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youhuan

金虫 (正式写手)
★
formleaf(金币+1,VIP+0):讨论有奖！ 12-15 09:24
十分感谢大家的讨论与指导！
回复jfili ：
我认为 “如果 F(1)=0, F(2)=0, 则 F(p)=0。（实际上这个推论等价与原来的结论）”这种说法成立！即"如果F(1)=0, F(2)>0,则 F(p)>0”并不等价于“F(1)=0, F(2)=0, 则 F(p)=0”（当P>1时）。
前提条件改变，则结论就不能确定了！如同说：
如果张三是罪犯，则张三肯定违法了；
但不能说：李四不是罪犯，则李四肯定没违法！
（李四可能没违法，也可能违法了，但没被发现）。
所以楼上的所谓“等价”是不成立的！并且我用matlab仿真结果与结论都吻合！还请高手继续指教！！十分感谢jfili的讨论！感谢大家的热心帮助！！
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18楼2009-12-14 21:52:59
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★
formleaf(金币+3,VIP+0):谢谢参与讨论 12-15 09:25
当 n≥3 时，结论 (1) 已证实不成立。

甲组的方差大于乙组的方差，这时已不能推得甲组的最大数大于或等于乙组的最大数，而这是结论(1)成立的一个必要条件。

看图片：
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19楼2009-12-15 07:52:51
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jfili

金虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by youhuan at 2009-12-14 21:52:
十分感谢大家的讨论与指导！
回复jfili ：
我认为 “如果 F(1)=0, F(2)=0, 则 F(p)=0。（实际上这个推论等价与原来的结论）”这种说法成立！即"如果F(1)=0, F(2)>0,则 F(p)>0”并不等价于“F(1)=0,  ...

好吧，我证明给你看
F(1)=0（两个数组的平均值相等）
如果F(2)>0，则 F(p)>0
下面证明如果F(2)=0，则F(p)=0

如果数组{x}的平方和大于或等于{y}的平方和，则，{x}的p方和大于或等于{y}的p方和 （1）
那么如果{x}的平方和等于{y}的平方和，则{x}的p方和大于或等于{y}的p方和（由(1)得到）
同理{y}的平方和等于{x}的平方和，则{y}的p方和大于或等于{x}的p方和（由(1)得到）
也就是说，如果{x}的平方和等于{y}的平方和，则{x}的p方和等于{y}的p方和

推论得证

反过来推需要一个推论，如果F(p)=0，则F(q)=0。其中p,q>0，且不等于1
我不想证明这个了

我举的例子，你看了吗？
{x}={1+s,3-s,3}, {y}={2, 5+根5/2, 5+根5/2}
容易得到，{x}的和等于{y}的和，{x}的平方和~19-5s,{y}的平方和=19,
{x}的3次方和=55-6s，{y}的3次方和=58
如果s为负的很接近与0的数，如0.0001.则，{x}的平方和>{y}的平方和，而{x}的3次方和<{y}的3次方和。

没错吧？
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20楼2009-12-15 09:47:28
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