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youhuan

金虫 (正式写手)

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[交流] 请教一道不等式证明题

请教这道题目如何证明？不胜感激！

[ Last edited by bluesine on 2009-12-11 at 12:12 ]

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1楼 2009-12-10 19:46:37

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jfili

金虫 (正式写手)

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管辖: 数学

★ ★ ★
bluesine(金币+3,VIP+0):不管正确与否，辛苦了~ 12-14 14:49

个人觉得这个结论之错误的

为了叙述的方便，记：F(p)=\sum_1^n (x^p_i - y^p_i)。x_i,y_i都为正数

你的结论就是：如果 F(1)=0，F(2)>0，则对任何 p>1, F(p)>0

很容易得到这个结论的一个推论：如果 F(1)=0, F(2)=0, 则 F(p)=0。（实际上这个推论等价与原来的结论）

这个推论是不可能的，比如 n=3，反例如下：
设x，y分别为： 1, 3, 3； 2, (5+根5)/2, (5-根5)/2。
当然你也可以用这几个数构造原来结论的反例。
只需要将1,3,3改为 1+s, 3-s, 3。s为小正数。

对于n=2，实际上有F(1)=0,F(2)=0。直线与圆的交点有一个或两个（把y看成给定的数，x为未知的），也就是说在按大小排列下是唯一的，有F(p)=0

对于n>3，交点可能不唯一。所以结论就难说了。

一下两个相似的结论是成立的
1、如果 x_i=c（所有的x_i 都是相等的），如果F(1)=0, F(2)>0，则F(p)>0（p>1）
2、如过对于自然数n，对于n个不相等的正数 c_10，则F(p)>0(对p>c_n)