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Ptolomaeus

铁杆木虫 (正式写手)

[交流] 请教Hilbert空间一个证明~

试证：完备Hilbert空间中任何非空凸闭集套有非空的交。
是Kolmogorov的函数论与泛函分析初步里的习题，甚为头疼啊。。。

[ Last edited by Ptolomaeus on 2009-12-5 at 12:50 ]
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1楼 2009-12-04 23:50:25
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Ptolomaeus

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★
bluesine(金币+2,VIP+0):感谢参与，欢迎常来数学板块 12-6 12:00
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2009-12-5 03:38:
非空凸闭集套？严格定义是怎样的？

我对“凸闭集套”这个名词的理解是这样的：

原空间的一列子集{C_{n}}，每个C_{n}是凸的闭集，且包含下一个集合C_{n+1}, n=1,2, ... .

如果是这样理解法，那么这个定理 ...

我错了，漏打了有界这个条件。

我重述一下题目：试证：在Hilbert空间中（即完备的内积空间，不一定可分），任意有界非空闭凸集套都有非空的交。其中“凸”是指对于线性空间是凸集，“闭”是指对于内积诱导的拓扑是闭集，“非空集套”就是递减集列，其中任意有限个交是非空的。

注：这是完备度量空间中闭球套定理的推广。

请各位高手指教~

[ Last edited by Ptolomaeus on 2009-12-5 at 12:10 ]
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5楼2009-12-05 12:09:49
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dingleimilan

金虫 (正式写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):恭喜抢沙发，给个红包
haixing2008(金币+1,VIP+0):多谢交流！ 12-5 09:55
这个证明的关键好像在于存在凸性
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2楼2009-12-05 00:29:51
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.2):抢了个小板凳，给个红包
haixing2008(金币+6,VIP+0):多谢交流！多谢解答！鼓励一下！ 12-5 09:55
非空凸闭集套？严格定义是怎样的？

我对“凸闭集套”这个名词的理解是这样的：

原空间的一列子集{C_{n}}，每个C_{n}是凸的闭集，且包含下一个集合C_{n+1}, n=1,2, ... .

如果是这样理解法，那么这个定理的结论根本不成立，反例：

令原空间为实数集，范数为通常的绝对值，考虑这样一列集：

C_n = [n, +∞).

可以验证每个C_n是凸闭集且包含C_{n+1}，但 ∩C_{n} 是空的。

要么是我理解不对，要么楼主还少写了条件，好比说C_{n}应该有界或紧致之类
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3楼2009-12-05 03:38:04
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
★ ★
formleaf(金币+2,VIP+0):谢谢你的参与！ 12-5 13:28
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2009-12-5 03:38:
非空凸闭集套？严格定义是怎样的？

我对“凸闭集套”这个名词的理解是这样的：

原空间的一列子集{C_{n}}，每个C_{n}是凸的闭集，且包含下一个集合C_{n+1}, n=1,2, ... .

如果是这样理解法，那么这个定理 ...

你自己都说了，每个C_{n}是个闭集，那么你的例子中[n, +∞)是不是个闭集咧》？？？定理没有问题，楼主可以参考闭区间套定理试试，应该是没有问题的
赞一下(10人) 回复此楼
板凳要做十年冷文章不发一个字
4楼2009-12-05 11:22:36
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