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Ptolomaeus铁杆木虫 (正式写手)
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请教Hilbert空间一个证明~
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试证：完备Hilbert空间中任何非空凸闭集套有非空的交。 是Kolmogorov的函数论与泛函分析初步里的习题，甚为头疼啊。。。 [ Last edited by Ptolomaeus on 2009-12-5 at 12:50 ] |
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2楼2009-12-05 00:29:51
Pchief
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小木虫(金币+0.2):抢了个小板凳，给个红包
haixing2008(金币+6,VIP+0):多谢交流！多谢解答！鼓励一下！ 12-5 09:55
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非空凸闭集套？严格定义是怎样的？ 我对“凸闭集套”这个名词的理解是这样的： 原空间的一列子集{C_{n}}，每个C_{n}是凸的闭集，且包含下一个集合C_{n+1}, n=1,2, ... . 如果是这样理解法，那么这个定理的结论根本不成立，反例： 令原空间为实数集，范数为通常的绝对值，考虑这样一列集： C_n = [n, +∞). 可以验证每个C_n是凸闭集且包含C_{n+1}，但 ∩C_{n} 是空的。 要么是我理解不对，要么楼主还少写了条件，好比说C_{n}应该有界或紧致之类 |
3楼2009-12-05 03:38:04
bluesine
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4楼2009-12-05 11:22:36
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5楼2009-12-05 12:09:49
Pchief
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bluesine(金币+3,VIP+0):感谢您的解答，欢迎常来数学板块。 12-6 12:01
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因为上传附件不好使，只能手打，比较难看，将就了 设{C_{n}} 是Hilbert空间X中的有界凸闭集，而且每个C_{n}包含下一个集合C_{n+1}。 在每个 C_{n} 中取一个点 x_{n}，因为 X 是自反的，所以有界集 C_{1} 是弱列紧的，于是 {x_{n}} 作为 C_{1} 中的点列，有子列 {x_{n_k}} 弱收敛到某个 x ，不失一般性可以设 {x_{n}} 本身弱收敛到 x， 再由Mazur定理，存在 x_{n} 的凸组合序列 {y_{n}} 按范数收敛到 x，因为C_{1}为凸集，每个 y_{n}∈C_{1}，又C_{1} 为 闭集，最后得 x∈C_{1}。 重复上述推理得 x∈C_{2}，x∈C_{3}，等等，因此 x∈∩C_{n}，结论得证。 [ Last edited by Pchief on 2009-12-6 at 06:02 ] |
6楼2009-12-05 23:06:20
Pchief
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