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wudzir新虫 (小有名气)
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Sobolev迹定理及其嵌入定理
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| 不知哪位高人能给讲一下Sobolev trace theorem 以及 嵌入定理？特别是如何理解这两个定理？ |
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2楼2009-12-04 08:29:01
yanl02
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formleaf(金币+2,VIP+0):hai版好热心！ 12-4 12:17
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可参见：《Sobolev空间与偏微分方程引论》，钟承奎等《非线性泛函分析引论》兰州大学出版社，陆文端《微分方程中的变分方法》科学出版社。 同时我给出Sobolev嵌入定理： 下载链接： http://www.brsbox.com/filebox/do ... 55401275760ccfd4f76 希望对楼主有用，祝好运！ |
4楼2009-12-04 09:25:49
殛殛殛残酷
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5楼2009-12-04 09:42:04
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formleaf(金币+2,VIP+0):谢谢你的介绍！ 12-4 12:17
formleaf(金币+0,VIP+0):吴卓群，那个是伍卓群吧，我本科毕业证上的！ 12-4 12:18
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sobolev嵌入定理和迹定理是偏微分方程（尤其是椭圆和抛物）理论研究中非常重要的一个定理，在偏微分方程的先验估计中应用很广，相信很多临界指标来源于sobolev嵌入定理的嵌入指标。sobolev嵌入定理最常见的形式是当p 在我导师写的一个note上面，他说应该做如下的理解： W^{1,p}函数显然比L^p函数性质要好，但是究竟好多少，Sobolev定理就回答了这个问题。 关于迹定理，最常见的是W^{1,p}(\Omega)嵌入W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)。因为在n维区域上，说一个W^{1,p}函数在某一点的值是没有意义的，因此没有办法定义函数在边界上的值，而迹定理正好解决了这一问题。 这两个定理在讲sobolev空间的书上都有叙述，完整的定理可以参看： 吴卓群，尹景学 王春鹏 《椭圆于抛物型方程引论》 的第一章，大型的书店应该有这本书。或者参看一些外文的讲偏微分方程的书，上面都有详细的介绍和严格的证明。 |
6楼2009-12-04 10:04:14
yanl02
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7楼2009-12-04 11:02:19
jfili
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dingleimilan(金币+3,VIP+0):辛苦了 12-4 15:05
dingleimilan(金币+3,VIP+0):辛苦了 12-4 15:05
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可以参见Adams 的Sobolev space 在学习这两个定理之前首先要明白某一个广义函数属于 L^p（或连续函数）空间是什么意思 可以按两种方式来理解这两个定理。 1、集合。即当 f 属于 H^1, 则 f 属于X（L^p或Hoiler连续） 2、空间。即 f 属于H^1, 则存在C^\infty_c函数列f^k按H^1范数收敛于f，（此时f^k属于C或者迹都是有经典的意义了），而这个函数列如果在X中也收敛（按X中的范数），则称 f 属于X 而值得注意的是，嵌入定理中后面的一个集合是正好最小的一个集合（在某种意义下）。如 H^1嵌入L^2*（当空间维数满足一定的关系时），而当p大于2*时，H^1是不属于L^p的，这可以找到反例的 而为什么要有这两个定理。H^1空间是一个在广义函数空间，而L^p空间是我们很熟悉的空间，这两个定理告诉我们，实际上这个广义函数空间并不是太“广义”。 |
8楼2009-12-04 12:49:02
9楼2009-12-04 12:54:58