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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » Sobolev迹定理及其嵌入定理
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wudzir

新虫 (小有名气)

[交流] Sobolev迹定理及其嵌入定理

不知哪位高人能给讲一下Sobolev trace theorem 以及 嵌入定理？特别是如何理解这两个定理？
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1楼2009-12-04 00:02:42
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jiahl

金虫 (小有名气)
★ ★
formleaf(金币+2,VIP+0):谢谢你的介绍！ 12-4 12:17
formleaf(金币+0,VIP+0):吴卓群，那个是伍卓群吧，我本科毕业证上的！ 12-4 12:18
sobolev嵌入定理和迹定理是偏微分方程（尤其是椭圆和抛物）理论研究中非常重要的一个定理，在偏微分方程的先验估计中应用很广，相信很多临界指标来源于sobolev嵌入定理的嵌入指标。sobolev嵌入定理最常见的形式是当pL^q(q=np/(n-p))是个有界算子。
在我导师写的一个note上面，他说应该做如下的理解：
W^{1,p}函数显然比L^p函数性质要好，但是究竟好多少，Sobolev定理就回答了这个问题。
关于迹定理，最常见的是W^{1,p}(\Omega)嵌入W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)。因为在n维区域上，说一个W^{1,p}函数在某一点的值是没有意义的，因此没有办法定义函数在边界上的值，而迹定理正好解决了这一问题。
这两个定理在讲sobolev空间的书上都有叙述，完整的定理可以参看：
吴卓群，尹景学 王春鹏 《椭圆于抛物型方程引论》
的第一章，大型的书店应该有这本书。或者参看一些外文的讲偏微分方程的书，上面都有详细的介绍和严格的证明。
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业精于勤 荒于嬉 行成于思 毁于随
6楼2009-12-04 10:04:14
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haixing2008

荣誉版主 (文坛精英)
★
小木虫(金币+0.5):恭喜抢沙发，给个红包
或许你可以在泛函分析专题贴上发问哦，那边高手更多。
不过很多泛函书上都有的，你可以查查
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平平淡淡才是真！
2楼2009-12-04 08:29:01
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yanl02

金虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.2):抢了个小板凳，给个红包
很多泛函分析书上是没有的。应该是专门的Sobolev空间书上才会有吧。关键是如何理解，尤其是他的用处在哪里。这些是从树上看不到的。呵呵
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3楼2009-12-04 09:10:17
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haixing2008

荣誉版主 (文坛精英)
★ ★
formleaf(金币+2,VIP+0):hai版好热心！ 12-4 12:17
可参见：《Sobolev空间与偏微分方程引论》，钟承奎等《非线性泛函分析引论》兰州大学出版社，陆文端《微分方程中的变分方法》科学出版社。
同时我给出Sobolev嵌入定理：
下载链接：
http://www.brsbox.com/filebox/do ... 55401275760ccfd4f76
希望对楼主有用，祝好运！
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平平淡淡才是真！
4楼2009-12-04 09:25:49
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