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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】关于带导数的积分方程的求解问题，请大家帮个忙（已解决）
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shenjiaxi

金虫 (小有名气)
再补充一下，我的这个问题是针对这个图的，t大于等于0.
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11楼2009-11-09 09:38:04
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★
shenjiaxi(金币+5,VIP+0):谢谢！ 11-9 16:29
引用回帖:
Originally posted by shenjiaxi at 2009-11-9 09:21:
你说的很有道理，可是倒数第二个式子中怎么会有u（0）呢？我不明白，请指点！

首先，显然 u(t)≡0 是这个方程的解，其次，这个方程满足解的唯一性定理条件，所以如果有解 u(t) 不恒为零，那么它也就恒不为零（要不然在它与 x 轴交点处解的唯一性就被破坏了），这个时候才能用 u(t) 去除方程两边，得到

u'(t) /u(t) = 1/N

积分：

ln |u(t)| = t/N + c,  

|u(t)| = C e^{t/N} （令C=e^c）

u(t) = ±C e^{t/N}  

按照以上的求解过程，C 只能是正数。将前面的正负号去掉之后，C 可以是任何实数，但仍然不能是零。 然而我们将特解 u(t)≡0 包含进来之后，就可以认为 C 也可以取零值了；因此通解就是

u(t)=C e^{t/N}  

令 t=0 得 C=u(0)，所以上式也可写为

u(t)=u(0) e^{t/N}

另外，注意上面的求解过程就会发现，任意常数 c 出现在指数的位置时，C=e^c 是不能为零的，同时通解也不包括零解。而当任意常数 C 出现在因子的位置时，它就可以取得零值，使得通解包括零解。所以你的（６）式也有着同样的局限性，你试试把任意常数 C_1 从指数的位置搬下来，而写成如下形式：

P(t) = -{C/K} e^{-Kt} + C_2

这个时候就可以令 C=0，就会发现 P(t) 原本只是一个常数了。

[ Last edited by Pchief on 2009-11-9 at 14:19 ]
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12楼2009-11-09 14:05:08
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shenjiaxi

金虫 (小有名气)
哦，我现在明白了，p(t)等于常数是方程的解。那再请教一下，有没有满足方程的非常数解呢？
还有，p(t)等于常数这个解代入式（3）、式（4）、式（5）都成立，而式（6）这个解代入式（4）、式（5）也都成立，而唯独代入式（3）不成立。为什么呢？

[ Last edited by shenjiaxi on 2009-11-9 at 18:36 ]
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13楼2009-11-09 16:34:03
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dreamchinaster

木虫 (著名写手)
★
shenjiaxi(金币+1):谢谢参与
学习！！
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14楼2009-11-09 17:25:33
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
formleaf(金币+3,VIP+0):谢谢你的热心帮助！ 11-10 08:36
shenjiaxi(金币+10,VIP+0):谢谢你的帮助！这回我终于搞懂了！谢谢！ 11-10 18:33
引用回帖:
Originally posted by shenjiaxi at 2009-11-9 16:34:
哦，我现在明白了，p(t)等于常数是方程的解。那再请教一下，有没有满足方程的非常数解呢？
还有，p(t)等于常数这个解代入式（3）、式（4）、式（5）都成立，而式（6）这个解代入式（4）、式（5）也都成立，而唯独 ...

这个，我前面已经说过了啊，（３）这个式子比较特殊，它隐含一个初始条件，就是

N P'(0)=0.

你令K=(Nβ - 1)/N，那你已经相当于承认 N 不是零，既然如此那就只有

P'(0)=0

而满足这个初始条件的只有 P'(t)≡0 一个解，而我上面说过你的 （６）式有个局限，就是恰恰不包括 P'(t)≡0 这个解，这样的话代进去当然就不对了。

至于会不会有 P(t) 不等于常数的解呢？回答也很简单，既然（３）只有 P'(t)≡0 这一个解，那当然是不会有了。
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15楼2009-11-09 19:16:07
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★
formleaf(金币+2,VIP+0):谢谢你的答疑！ 11-12 12:42
（6）的解带入（3）不完全满足，那是因为从（3）到（6）的推到过程不是等价变换

如 x=1 可以推导出 x^2=1，可是后一个方程的解带入前者不一定满足
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16楼2009-11-10 10:23:45
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shenjiaxi

金虫 (小有名气)
我终于弄懂了！谢谢大家的热心帮助！
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17楼2009-11-10 18:34:48
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shenjiaxi

金虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by jfili at 2009-11-10 10:23:
（6）的解带入（3）不完全满足，那是因为从（3）到（6）的推到过程不是等价变换

如 x=1 可以推导出 x^2=1，可是后一个方程的解带入前者不一定满足

是的，你说的很对！谢谢你的帮助！我弄明白了。可是我奖励的金币用完了，不能给你加了。
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18楼2009-11-10 18:43:33
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shenjiaxi

金虫 (小有名气)
版主，能不能帮我再给Pchief加20金币，给jfili再加10金币！谢谢大家的帮助！
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19楼2009-11-10 18:46:21
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
不用再给我加币了，该得的我都得了。
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20楼2009-11-10 20:44:38
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