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shenjiaxi

金虫 (小有名气)

再补充一下,我的这个问题是针对这个图的,t大于等于0.

11楼2009-11-09 09:38:04
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

★ ★ ★ ★ ★
shenjiaxi(金币+5,VIP+0):谢谢! 11-9 16:29
引用回帖:
Originally posted by shenjiaxi at 2009-11-9 09:21:
你说的很有道理,可是倒数第二个式子中怎么会有u(0)呢?我不明白,请指点!

首先,显然 u(t)≡0 是这个方程的解,其次,这个方程满足解的唯一性定理条件,所以如果有解 u(t) 不恒为零,那么它也就恒不为零(要不然在它与 x 轴交点处解的唯一性就被破坏了),这个时候才能用 u(t) 去除方程两边,得到

u'(t) /u(t) = 1/N

积分:

ln |u(t)| = t/N + c,  

|u(t)| = C e^{t/N} (令C=e^c)

u(t) = ±C e^{t/N}  

按照以上的求解过程,C 只能是正数。将前面的正负号去掉之后,C 可以是任何实数,但仍然不能是零。 然而我们将特解 u(t)≡0 包含进来之后,就可以认为 C 也可以取零值了;因此通解就是

u(t)=C e^{t/N}  

令 t=0 得 C=u(0),所以上式也可写为

u(t)=u(0) e^{t/N}

另外,注意上面的求解过程就会发现,任意常数 c 出现在指数的位置时,C=e^c 是不能为零的,同时通解也不包括零解。而当任意常数 C 出现在因子的位置时,它就可以取得零值,使得通解包括零解。所以你的(6)式也有着同样的局限性,你试试把任意常数 C_1 从指数的位置搬下来,而写成如下形式:

P(t) = -{C/K} e^{-Kt} + C_2

这个时候就可以令 C=0,就会发现 P(t) 原本只是一个常数了。

[ Last edited by Pchief on 2009-11-9 at 14:19 ]
12楼2009-11-09 14:05:08
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shenjiaxi

金虫 (小有名气)

哦,我现在明白了,p(t)等于常数是方程的解。那再请教一下,有没有满足方程的非常数解呢?
还有,p(t)等于常数这个解代入式(3)、式(4)、式(5)都成立,而式(6)这个解代入式(4)、式(5)也都成立,而唯独代入式(3)不成立。为什么呢?

[ Last edited by shenjiaxi on 2009-11-9 at 18:36 ]
13楼2009-11-09 16:34:03
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dreamchinaster

木虫 (著名写手)



shenjiaxi(金币+1):谢谢参与
学习!!
14楼2009-11-09 17:25:33
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
formleaf(金币+3,VIP+0):谢谢你的热心帮助! 11-10 08:36
shenjiaxi(金币+10,VIP+0):谢谢你的帮助!这回我终于搞懂了!谢谢! 11-10 18:33
引用回帖:
Originally posted by shenjiaxi at 2009-11-9 16:34:
哦,我现在明白了,p(t)等于常数是方程的解。那再请教一下,有没有满足方程的非常数解呢?
还有,p(t)等于常数这个解代入式(3)、式(4)、式(5)都成立,而式(6)这个解代入式(4)、式(5)也都成立,而唯独 ...

这个,我前面已经说过了啊,(3)这个式子比较特殊,它隐含一个初始条件,就是

N P'(0)=0.

你令K=(Nβ - 1)/N,那你已经相当于承认 N 不是零,既然如此那就只有

P'(0)=0

而满足这个初始条件的只有 P'(t)≡0 一个解,而我上面说过你的 (6)式有个局限,就是恰恰不包括 P'(t)≡0 这个解,这样的话代进去当然就不对了。

至于会不会有 P(t) 不等于常数的解呢?回答也很简单,既然(3)只有 P'(t)≡0 这一个解,那当然是不会有了。
15楼2009-11-09 19:16:07
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jfili

金虫 (正式写手)

★ ★
formleaf(金币+2,VIP+0):谢谢你的答疑! 11-12 12:42
(6)的解带入(3)不完全满足,那是因为从(3)到(6)的推到过程不是等价变换

如 x=1 可以推导出 x^2=1,可是后一个方程的解带入前者不一定满足
16楼2009-11-10 10:23:45
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shenjiaxi

金虫 (小有名气)

我终于弄懂了!谢谢大家的热心帮助!
17楼2009-11-10 18:34:48
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shenjiaxi

金虫 (小有名气)

引用回帖:
Originally posted by jfili at 2009-11-10 10:23:
(6)的解带入(3)不完全满足,那是因为从(3)到(6)的推到过程不是等价变换

如 x=1 可以推导出 x^2=1,可是后一个方程的解带入前者不一定满足

是的,你说的很对!谢谢你的帮助!我弄明白了。可是我奖励的金币用完了,不能给你加了。
18楼2009-11-10 18:43:33
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shenjiaxi

金虫 (小有名气)

版主,能不能帮我再给Pchief加20金币,给jfili再加10金币!谢谢大家的帮助!
19楼2009-11-10 18:46:21
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)


小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖交流
不用再给我加币了,该得的我都得了。
20楼2009-11-10 20:44:38
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