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clcfang

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[求助] 微积分Lagrange中值定理的应用辨析已有1人参与

拉格朗日中值定理当x≠0时，f(x)=x^2*sin(1/x) ；当x=0时，f(x)=0。
由拉格朗日中值定理，存在ξ∈x，使f(x)-f(0)=x*f'(ξ)，即有x^2*sin(1/x)=(2ξ*sin(1/ξ)-cos(1/ξ))*x，则cos(1/ξ)=2ξ*sin(1/ξ)-x*sin(1/x)因此令x趋于0+时，有ξ趋于0+，这样就有lim(x→0+)cos(1/ξ)=0。这与lim(x→0+)cos(1/x)不存在矛盾？请高手解释下，谢谢！

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数学！数学！

1楼 2023-09-14 20:38:20

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xpyan72

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【答案】应助回帖

这里得到的应该是lim(x→0+)cos(1/ξ)=0，要从这个等式得到lim(x→0+)cos(1/x)=0就要用复合函数极限的运算法则，但这里外层函数cosu在u→+∞时的极限不存在，所以转换不成lim(x→0+)cos(1/x)的形式。

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2楼2023-10-14 21:55:01

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clcfang

银虫 (小有名气)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by xpyan72 at 2023-10-14 21:55:01
这里得到的应该是lim(x→0+)cos(1/ξ)=0，要从这个等式得到lim(x→0+)cos(1/x)=0就要用复合函数极限的运算法则，但这里外层函数cosu在u→+∞时的极限不存在，所以转换不成lim(x→0+)cos(1/x)的形式。

问题是由Lagrange定理得到cos(1/ξ)=2ξ*sin(1/ξ)-x*sin(1/x),而右边极限等于0，所以左边等于右边等于0

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数学！数学！

3楼2023-10-15 22:40:33

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