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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】正定矩阵有关的一个证明
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vflag

木虫 (正式写手)

[交流] 【求助】正定矩阵有关的一个证明

定义一个正定矩阵V，两个列向量a和b。V是正定矩阵的话，不管a和b中的各项是否为正，只要非零，肯定有a^T*V*a>0或者b^T*V*b>0。

请问下如果a和b中的各项均为正值存不存在
a^T*V*b>0啊？（a^T为a的转置）。
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1楼 2009-09-14 11:39:21
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鹤顶红

银虫 (著名写手)
★
vflag(金币+1,VIP+0):谢谢参与 9-14 12:14
线性代数？
忘记了，友情帮顶……
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93Kg，禹禹独行
2楼2009-09-14 11:45:48
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netant000

荣誉版主 (文坛精英)

纯纯广庭之又见炊烟

优秀版主优秀版主
★
vflag(金币+1,VIP+0):多谢参与 9-14 12:14
好复杂 帮你顶
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手拿菜刀砍电线，一路火花带闪电。
3楼2009-09-14 11:46:20
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liubing041

荣誉版主 (文坛精英)

忽忽家族之傻忽忽

优秀版主
★
点点风(金币+1,VIP+0):感谢参与讨论！ 9-15 13:00
应该是存在的
若a=b不就是已知条件嘛
或者向量a和b线性相关不就可以吗

工程矩阵没学好，具体证明不清楚
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“猫猫是谁？”....“还狗狗类...”
4楼2009-09-14 13:40:01
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zenghui09

★
vflag(金币+1,VIP+0):谢谢参与，存在是肯定的。 9-16 12:25
a=b就行了,存在性问题不需要证明的,举例就可以了
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5楼2009-09-15 18:24:32
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pds

木虫 (小有名气)
存在
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6楼2009-09-15 20:47:41
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guobingm

禁虫 (小有名气)
★ ★
vflag(金币+2,VIP+0):好像有道理 9-16 12:23
本帖内容被屏蔽
7楼2009-09-15 21:45:49
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liuyi5052

铁虫 (小有名气)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
vflag(金币+2,VIP+0):我的线性代数学的比较差，受教了。以后多努力。 9-16 12:24
wuguocheng(金币+2,VIP+0): 谢谢高手 9-21 11:14
bluesine(金币+11,VIP+0):转移金币，谢谢您的帮助，欢迎常来 12-8 19:54
存在，有一种方法你知不知道共轭梯度法（conjugate gradient method）
两个向量称之为共轭(with respect to A) if
u^T*A*v=0   (A is symmetic and positive definite)
我们可以定义一个Rn中的内积
==u^T*A*v
容易验证这个定义满足内积四条公理
所以你的问题很简单的可以看成：在装备了这种内积之下的内积空间Rn中，两个向量u和v夹角小于90度，注意不需要“a和b中的各项均为正值”这个条件。
note：共轭就是这个内积意义下的正交。
注意在学习线性代数的时候注意问题的几何的一面，如果你看不到问题的几何一面，你的线性代数还要多努力，这一点国内的教学很差。我的学习经验是自学（老师是一种误导，也许他们自己也不行），看国外的书，看wiki。送给楼上的几位同学。

[ Last edited by liuyi5052 on 2009-9-15 at 22:53 ]
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8楼2009-09-15 22:43:06
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clarkyeah

铜虫 (小有名气)
★ ★
wuguocheng(金币+2,VIP+0): 有道理! 9-21 13:09
吧a和b表示成自然基的线性组合，乘得的就是正定矩阵中每个元素的的线性组合，而且线性组合的系数都是正数，显然是大于零的。
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9楼2009-09-21 12:53:36
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★
vflag(金币+2,VIP+0):多谢指导！ 9-22 12:48
8楼说的很清楚，正定矩阵（n阶）与R^n的内积运算是一一对应的
a^T*V*b>0就是 a,b在这个内积意义下角度小于90度

从另一个叫角度来看，T正定，则T=A^t diag{T} A，也就是一个伸缩和一个旋转。
而旋转不改变向量的夹角，伸缩嘛，
。。。。。。
下面的楼主自己想吧

[ Last edited by jfili on 2009-9-22 at 10:55 ]
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10楼2009-09-21 14:32:49
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