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南方科技大学公共卫生及应急管理学院2025级博士研究生招生报考通知

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vflag

木虫 (正式写手)

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[交流] 【求助】正定矩阵有关的一个证明

定义一个正定矩阵V，两个列向量a和b。V是正定矩阵的话，不管a和b中的各项是否为正，只要非零，肯定有a^T*V*a>0或者b^T*V*b>0。

请问下如果a和b中的各项均为正值存不存在
a^T*V*b>0啊？（a^T为a的转置）。

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1楼2009-09-14 11:39:21

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liuyi5052

铁虫 (小有名气)

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★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
vflag(金币+2,VIP+0):我的线性代数学的比较差，受教了。以后多努力。 9-16 12:24
wuguocheng(金币+2,VIP+0): 谢谢高手 9-21 11:14
bluesine(金币+11,VIP+0):转移金币，谢谢您的帮助，欢迎常来 12-8 19:54

存在，有一种方法你知不知道共轭梯度法（conjugate gradient method）
两个向量称之为共轭(with respect to A) if
u^T*A*v=0 (A is symmetic and positive definite)
我们可以定义一个Rn中的内积
==u^T*A*v
容易验证这个定义满足内积四条公理
所以你的问题很简单的可以看成：在装备了这种内积之下的内积空间Rn中，两个向量u和v夹角小于90度，注意不需要“a和b中的各项均为正值”这个条件。
note：共轭就是这个内积意义下的正交。
注意在学习线性代数的时候注意问题的几何的一面，如果你看不到问题的几何一面，你的线性代数还要多努力，这一点国内的教学很差。我的学习经验是自学（老师是一种误导，也许他们自己也不行），看国外的书，看wiki。送给楼上的几位同学。

[ Last edited by liuyi5052 on 2009-9-15 at 22:53 ]