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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 计算模拟区 » 计算模拟 » 【求助】密度泛函理论中密度函数的定义问题
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jiangning198511

木虫 (正式写手)

[交流] 【求助】密度泛函理论中密度函数的定义问题

在看关于密度泛函理论书籍的时候，不同的书对密度函数的定义不太一样，其中主要有以下两种，希望高手解答以下两者的联系，最后解释一下

[ Last edited by cadick on 2009-12-12 at 00:15 ]
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1楼 2009-09-10 21:44:27
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zxyan

至尊木虫 (文坛精英)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
mingdong(金币+1,VIP+0):感谢交流！ 9-12 00:27
fegg7502(金币+1,VIP+0):thank you very much! 9-12 00:30
jiangning198511(金币+5,VIP+0):解答 9-14 13:48
一种是积分形式，一种是矩阵形式，不过两种都是对电子波函数的求解。
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2楼2009-09-11 18:10:02
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yongleli

木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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mingdong(金币+1,VIP+0):感谢交流！ 9-12 18:44
jiangning198511(金币+5,VIP+0):评分 9-14 13:48
两个公式是等价的，有什么不一样？

  <\Psi|\sum_{i}\delta(r-r_i)|\Psi>
=\int{dr}\int{dr'}<\Psi|r>

=(1)

其中，
<\Psi|r>=\Psi(r)^{\star}
=\Psi(r')

完全是根据定义推导。
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3楼2009-09-12 14:45:08
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jiangning198511

木虫 (正式写手)
★
fegg7502(金币+1,VIP+0):鼓励交流2 12-13 17:10
谢谢，请问能不能在详细的推导一下
为什么
<\Psi|\sum_{i}\delta(r-r_i)|\Psi>
=\int{dr}\int{dr'}<\Psi|r>

=(1)
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4楼2009-09-14 13:48:00
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c111999

铜虫 (小有名气)
★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
fegg7502(金币+5,VIP+0):thank you very much! 12-13 17:10
引用回帖:
Originally posted by jiangning198511 at 2009-9-10 21:44:
在看关于密度泛函理论书籍的时候，不同的书对密度函数的定义不太一样，其中主要有以下两种，希望高手解答以下两者的联系，最后解释一下
[ Last edited by cadick on 2009-12-12 at 00:15 ]

自认为不是高手，请谨慎使用下列信息。

(1)： 单电子 自旋轨道 函数定义式 积分形式；
(1)=N* ρ(ri), ri=(x,y,z,s)i
对(1)继续积分则得到整个空间所有电子数，=N.
也可以认为，如果有波函数ψ(r1,...rN)能够描述整个系统的话，它能够被分解为多个单电子函数。即，对于ψψ*进行除了i 电子的积分，将得到 i 电子的密度 ρ(ri),。这一招是迫不得已，因为谁也不知道 ψ，所以只是定义式。
(2) 意义同(1)，矩阵形式
< > = 对于ψ所有空间积分，
∫_r1∫_r2…∫∣ψ(r1,r2...rN)∣^2 dr1dr2....rN

与(1)表达不同; (1)只积分到r2， r1部分还未进行。但是由于使用了迪拉克单点函数，则使（2）展开为：（其中第一项，i=1）

∫_r1*[∫_r2…∫∣ψ(r1,r2...rN)∣^2 dr2....rN]*delta(r-r1)*dr1
= ρ(r1)
= ∫_r2…∫_rN∣ψ(r1,r2...rN)∣^2 dr2....rN]* = (1)式/N

迪拉克单点函数（∫f(x)delta(x-x0)dx=f(x0)）的使用，实际上将ψ 又化为了N个单电子部分。所有空间r将会被影射/分配到r1~rN的空间中（可以认为是一坨电子云被投影到(x,y,z,s)1，。。。，(x,y,z,s)_N的空间去了）。如果把求和拿出<>来，则电子密度展开为：ρ（r）= ρ(r1)+ρ(r2)...+ρ(rN)，（二阶项都被忽略了 ρ(ri，rj),原子间重叠电荷没有涉及 ）
矩阵式的下一步是用ψ的展开式（如LCAO），将电子密度变为矩阵元(素)，分类（奇偶性）逐个表达（存于内存中，不必重复计算……），出于实际操作的需要。

请结合：【讨论】密度泛函理论中“密度”究竟指什么
http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=1642769&fpage=1

[ Last edited by c111999 on 2009-12-14 at 05:24 ]
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5楼2009-12-12 12:45:31
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jiangning198511

木虫 (正式写手)

公式转换

★ ★
fegg7502(金币+2,VIP+0):thank you very much! 12-21 01:02
前几天看到R.M.Martin的书上有相关的公式推导，请大家参考
见RM Martain 的ELECTRON STRUCTURE
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6楼2009-12-20 12:52:46
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