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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】求解：高代题
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木偶1588

新虫 (初入文坛)

[交流] 【求助】求解：高代题

设A为n阶实矩阵，且 A+A'为正定矩阵。求证：det A>0.
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1楼 2009-08-17 11:32:48
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风云箭

铜虫 (小有名气)
★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
点点风(金币+2,VIP+0):感谢参与讨论！ 8-17 19:37
wuguocheng(金币+3,VIP+0): 正解! 此方法巧妙. 不过由即a'Aa>0和a的任意性假设. 即能得出正定二次型. 当然能得出是正定的. 9-25 21:55
设a是任意非0列向量，因为A+A'是正定矩阵，则a'(A+A')a>0，即a'Aa+a'A'a>0，又因为a'A'a是数，所以a'A'a=(a'A'a)'=a'(A')'(a')'=a'Aa，所以代入得到2a'Aa>0，即a'Aa>0，又因为a是任意非0列向量，所以由定义得A是正定矩阵，即A的特征值全大于0，不妨设为a1,a2,...,an(A为n阶矩阵)，所以detA=a1*a2*...an>0
其实行列式大于0是正定矩阵的一个基本性质，所以只需要证明A是正定矩阵即可

[ Last edited by 风云箭 on 2009-8-17 at 18:03 ]
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2楼2009-08-17 18:00:53
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
幻影无痕(金币+1,VIP+0):谢谢！ 8-29 13:47
wuguocheng(金币+0,VIP+0): 矩阵A是正定的 等价于 对于任意非零向量a,都有a'Aa>0 9-25 21:56
上面证明有一个问题：A不是对称矩阵，所以不能得到A为正定矩阵的
更不能用正定矩阵的性质的
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3楼2009-08-18 20:18:54
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
幻影无痕(金币+1,VIP+0):辛苦！ 8-29 13:48
上述证明基本上是正确的，
先证得，对任意非零向量x，都有x'Ax>0
对于A的任意特征值b,存在非零向量y,使得 Ay=by，由上可知 by'y>0，所以b>0
即：A的特征值全为正的
下面证明相同
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4楼2009-08-18 20:50:06
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风云箭

铜虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
wuguocheng(金币+0,VIP+0): 对就是对的, 为什么不坚持自己的观点呢. 搞不懂. 9-25 21:59
恩，好像是有点问题，定义没有搞清。
谢谢jfili的正确解答，受益匪浅啊，呵呵！
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5楼2009-08-18 21:00:59
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木偶1588

新虫 (初入文坛)

一种证法

★ ★
幻影无痕(金币+1,VIP+0):呵呵，继续，多多交流，可能还有别的方法！ 8-29 13:49
wuguocheng(金币+1,VIP+0): 谢谢参与, 不如上面的简单 9-25 22:01
谢谢各位虫友的回复。我最近刚想到了一种证法。望能继续讨论，给出更简单的方法。
                                                      
数学归纳法。                                      A1  c
假设结论对 n-1 阶矩阵成立。 划分A=（           ）， 其中 A1 是 n -1 阶矩
                                                        b’    a
阵 。 A1’+A1 的主子式均为 A’+A  的主子式，所以正定，由归纳假设， det A1>0.

另一方面， 对任意非零实列向量 X， 有 2X'AX=X'(A’+A)X>0. 可见， X'AX>0.
取 X1=(An1, An2,  ... Ann)' 为A的最后一行元素的代数余子式组成的列向量（非零，因为 Ann=det A1），则
                    X1' A X1= det A det A1>0
上面已经得到  det A1>0， 于是 det A>0.

[ Last edited by 木偶1588 on 2009-8-29 at 12:27 ]
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6楼2009-08-29 12:25:18
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liuyi5052

铁虫 (小有名气)
先占位，回来给出证明
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7楼2009-09-25 18:05:35
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jfili

金虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
嗯，是有一些教科书上定义正定矩阵不需要对称条件的

不过好像国内大部分线性代数上是要求正定矩阵必须是对称矩阵的
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8楼2009-09-26 19:14:38
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weijiang5903

金虫 (小有名气)
呵呵...学习学习！
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山不辞土，故能成其高；海不辞水，故能成其深！
9楼2009-10-08 17:30:47
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风之子8319

银虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
这个是高代书上的证明题，好像是。找北大的版本有详细解答的
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书山有路勤为径
10楼2009-10-10 22:58:42
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