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【求助】求解：高代题
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| 设A为n阶实矩阵，且 A+A'为正定矩阵。求证：det A>0. |
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jfili
金虫 (正式写手)
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4楼2009-08-18 20:50:06
★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
点点风(金币+2,VIP+0):感谢参与讨论！ 8-17 19:37
wuguocheng(金币+3,VIP+0): 正解! 此方法巧妙. 不过由即a'Aa>0和a的任意性假设. 即能得出正定二次型. 当然能得出是正定的. 9-25 21:55
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
点点风(金币+2,VIP+0):感谢参与讨论！ 8-17 19:37
wuguocheng(金币+3,VIP+0): 正解! 此方法巧妙. 不过由即a'Aa>0和a的任意性假设. 即能得出正定二次型. 当然能得出是正定的. 9-25 21:55
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设a是任意非0列向量，因为A+A'是正定矩阵，则a'(A+A')a>0，即a'Aa+a'A'a>0，又因为a'A'a是数，所以a'A'a=(a'A'a)'=a'(A')'(a')'=a'Aa，所以代入得到2a'Aa>0，即a'Aa>0，又因为a是任意非0列向量，所以由定义得A是正定矩阵，即A的特征值全大于0，不妨设为a1,a2,...,an(A为n阶矩阵)，所以detA=a1*a2*...an>0 其实行列式大于0是正定矩阵的一个基本性质，所以只需要证明A是正定矩阵即可 [ Last edited by 风云箭 on 2009-8-17 at 18:03 ] |
2楼2009-08-17 18:00:53
jfili
金虫 (正式写手)
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3楼2009-08-18 20:18:54
5楼2009-08-18 21:00:59