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【求助】求解：高代题
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| 设A为n阶实矩阵，且 A+A'为正定矩阵。求证：det A>0. |
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小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
点点风(金币+2,VIP+0):感谢参与讨论！ 8-17 19:37
wuguocheng(金币+3,VIP+0): 正解! 此方法巧妙. 不过由即a'Aa>0和a的任意性假设. 即能得出正定二次型. 当然能得出是正定的. 9-25 21:55
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
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wuguocheng(金币+3,VIP+0): 正解! 此方法巧妙. 不过由即a'Aa>0和a的任意性假设. 即能得出正定二次型. 当然能得出是正定的. 9-25 21:55
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设a是任意非0列向量，因为A+A'是正定矩阵，则a'(A+A')a>0，即a'Aa+a'A'a>0，又因为a'A'a是数，所以a'A'a=(a'A'a)'=a'(A')'(a')'=a'Aa，所以代入得到2a'Aa>0，即a'Aa>0，又因为a是任意非0列向量，所以由定义得A是正定矩阵，即A的特征值全大于0，不妨设为a1,a2,...,an(A为n阶矩阵)，所以detA=a1*a2*...an>0 其实行列式大于0是正定矩阵的一个基本性质，所以只需要证明A是正定矩阵即可 [ Last edited by 风云箭 on 2009-8-17 at 18:03 ] |
2楼2009-08-17 18:00:53
jfili
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3楼2009-08-18 20:18:54
jfili
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4楼2009-08-18 20:50:06
5楼2009-08-18 21:00:59
一种证法
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幻影无痕(金币+1,VIP+0):呵呵，继续，多多交流，可能还有别的方法！ 8-29 13:49
wuguocheng(金币+1,VIP+0): 谢谢参与, 不如上面的简单 9-25 22:01
幻影无痕(金币+1,VIP+0):呵呵，继续，多多交流，可能还有别的方法！ 8-29 13:49
wuguocheng(金币+1,VIP+0): 谢谢参与, 不如上面的简单 9-25 22:01
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谢谢各位虫友的回复。我最近刚想到了一种证法。望能继续讨论，给出更简单的方法。 数学归纳法。 A1 c 假设结论对 n-1 阶矩阵成立。 划分A=（ ）， 其中 A1 是 n -1 阶矩 b’ a 阵 。 A1’+A1 的主子式均为 A’+A 的主子式，所以正定，由归纳假设， det A1>0. 另一方面， 对任意非零实列向量 X， 有 2X'AX=X'(A’+A)X>0. 可见， X'AX>0. 取 X1=(An1, An2, ... Ann)' 为A的最后一行元素的代数余子式组成的列向量（非零，因为 Ann=det A1），则 X1' A X1= det A det A1>0 上面已经得到 det A1>0， 于是 det A>0. [ Last edited by 木偶1588 on 2009-8-29 at 12:27 ] |
6楼2009-08-29 12:25:18
7楼2009-09-25 18:05:35
jfili
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