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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 定积分求解
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【悬赏金币】回答本帖问题，作者zyugiec将赠送您 100 个金币

zyugiec

金虫 (正式写手)

[求助] 定积分求解 已有3人参与

求定积分int((exp(-k3*t))/(Ke*exp(k3*t)+C), t=0,t)
非常感谢，100金币悬赏。
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1楼 2020-11-26 11:20:38
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zhengyongyb

金虫 (正式写手)
这种积分基本上只能用留数定理了，像这种积分学物理的反而算得多些，但是你条件什么都没有，比如，上限是t?还有，C和Ke都大于0？否则别人没法算啊
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2楼2020-11-26 15:16:48
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zhengyongyb

金虫 (正式写手)
不好意思，看错了，貌似直接把分母拆一下就可以算了
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3楼2020-11-26 15:23:44
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zhengyongyb

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
没法贴图片，自己复制粘贴到公式编辑器mathtype中吧：

\begin{array}{l}
\int_{0}^{t} \frac{1}{e^{k_{3} t}\left(K e^{k_{3} t}+C\right)} d t=\frac{1}{C} \int_{0}^{t} \frac{1}{e^{k_{3} t}} d t-\frac{K}{C} \int_{0}^{t} \frac{1}{K e^{k_{3} t}+C} d t \\
\text { 其中 }: \frac{1}{C} \int_{0}^{t} \frac{1}{e^{k_{3} t}} d t=-\left.\frac{1}{k_{3} C} e^{k_{3} t}\right|_{0} ^{t}=-\frac{1}{k_{3} C}\left(e^{k_{3} t}-1\right) \\
\text { 而 }: \frac{K}{C} \int_{0}^{t} \frac{1}{K e^{k_{3} t}+C} d t=\frac{K}{C} \int_{0}^{t} \frac{e^{-k_{3} t}}{K+C e^{-k_{3} t}} d t=-\frac{K}{k_{3} C^{2}} \int_{0}^{t} \frac{d\left(K+C e^{-k_{3} t}\right)}{K+C e^{-k_{3} t}}=-\frac{K}{k_{3} C^{2}} \ln \mid K+C e^{-k_{3} t} \|_{0}^{t} \frac{1}{K_{3} t}\left(\ln \left|K+C e^{-k_{3} t}\right|-\ln |K|\right) \\
=-\frac{K}{k_{3} C^{2}} \\
\text { 结果 }=-\frac{1}{k_{3} C}\left(e^{k_{3} t}-1\right)-\frac{K}{k_{3} C^{2}}\left(\ln \left|K+C e^{-k_{3} t}\right|-\ln |K|\right.
\end{array}
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4楼2020-11-26 16:01:11
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zhengyongyb

金虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by zhengyongyb at 2020-11-26 16:01:11
没法贴图片，自己复制粘贴到公式编辑器mathtype中吧：

\begin{array}{l}
\int_{0}^{t} \frac{1}{e^{k_{3} t}\left(K e^{k_{3} t}+C\right)} d t=\frac{1}{C} \int_{0}^{t} \frac{1}{e^{k_{3} t}} d t-\frac{K}{ ...

\begin{array}{l}
\int_{0}^{t} \frac{1}{e^{k_{3} t}\left(K e^{k_{3} t}+C\right)} d t=\frac{1}{C} \int_{0}^{t} \frac{1}{e^{k_{3} t}} d t-\frac{K}{C} \int_{0}^{t} \frac{1}{K e^{k_{3} t}+C} d t \\
\text { 其中 }: \frac{1}{C} \int_{0}^{t} \frac{1}{e^{k_{3} t}} d t=-\left.\frac{1}{k_{3} C} e^{k_{3} t}\right|_{0} ^{t}=-\frac{1}{k_{3} C}\left(e^{k_{3} t}-1\right) \\
\text { 而 }: \frac{K}{C} \int_{0}^{t} \frac{1}{K e^{k_{3} t}+C} d t=\frac{K}{C} \int_{0}^{t} \frac{e^{-k_{3} t}}{K+C e^{-k_{3} t}} d t=-\frac{K}{k_{3} C^{2}} \int_{0}^{t} \frac{d\left(K+C e^{-k_{3} t}\right)}{K+C e^{-k_{3} t}}=-\frac{K}{k_{3} C^{2}} \ln \mid K+C e^{-k_{3} t} \|_{0}^{t} =\frac{1}{K_{3} t}\left(\ln \left|K+C e^{-k_{3} t}\right|-\ln |K|\right) \\
\text { 结果 }=-\frac{1}{k_{3} C}\left(e^{k_{3} t}-1\right)-\frac{K}{k_{3} C^{2}}\left(\ln \left|K+C e^{-k_{3} t}\right|-\ln |K|\right).
\end{array}
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5楼2020-11-26 16:09:53
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FMStation

至尊木虫 (知名作家)

【答案】应助回帖

\dfrac{\mathrm{e}k\ln\left(\mathrm{e}^{-k_3t}\left|k\mathrm{e}^{k_3t+1}+c\right|\right)}{c^2k_3}-\dfrac{\mathrm{e}^{-k_3t}}{ck_3}-\dfrac{\mathrm{e}k\ln\left(\left|\mathrm{e}k+c\right|\right)}{c^2k_3}+\dfrac{1}{ck_3}
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6楼2020-12-23 09:18:13
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hzlhm

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

int((exp(-k3*t))/(Ke*exp(k3*t)+C))

运行结果：

(Ke*log(C + Ke*exp(k3*t)))/(C^2*k3) - (Ke*t)/C^2 - exp(-k3*t)/(C*k3)
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QQ：2120156492
7楼2021-01-11 23:51:08
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