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lixy1217

木虫 (著名写手)

[求助] 这个Sobolev空间中的范数不等式叫什么名字,有没有可引证的文献?已有1人参与

对于  H^m  空间下的范数  ||u||_m  

有这样一个不等式
||uv||_m <= C||u||_m||v||_m,  当 m > d/2 时,

这个不等式我以前看到过,而且我也可以证明出来。

但问题是不知道这个不等式叫什么名字,最好是能有可引证的文献,方便我在论文里标注引用。@laosam280
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lixy1217

木虫 (著名写手)

引用回帖:
4楼: Originally posted by 偶不是奇 at 2019-05-31 19:13:18
具体的范数定义 有差别  比如取相减的绝对值,比如我们常用的平方范数,你需要的就是找本讲范数的书,比如泛函分析或者讲希尔伯特空间的书,应该都会讲到范数

呃,泛函分析会有很多篇幅来介绍Sobolev空间吗?需要是偏微分方程或专门讲Sobolev空间的书。可是我看过的书没有提到这种乘法的范数估计

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5楼2019-06-01 06:06:53
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lixy1217

木虫 (著名写手)

补充说明一下,这里的C是一个不依赖于u和v的常数,所以我问的是一个对乘法运算的范数估计。

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6楼2019-06-01 06:08:55
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lixy1217

木虫 (著名写手)

引用回帖:
7楼: Originally posted by 偶不是奇 at 2019-06-01 13:29:30
我的意思是你要更关注范数本身的定义
|uv|&lt;=sup{u}|v|
|uv|&lt;=sup{v}|u|
|uv|^2&lt;=sup{u}sup{v}|v||u|
|uv|&lt;=|v||u|根号下sup{u}sup{v}的乘积
...

我这用的是Sobolev空间范数,也就是说不仅要考虑函数本身的范围还要考虑它的m阶导数的范围,所以像||uv||_m <= sup{u} |v||_m 这样的结论肯定是不对的
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11楼2019-06-03 16:12:54
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lixy1217

木虫 (著名写手)

引用回帖:
7楼: Originally posted by 偶不是奇 at 2019-06-01 13:29:30
我的意思是你要更关注范数本身的定义
|uv|&lt;=sup{u}|v|
|uv|&lt;=sup{v}|u|
|uv|^2&lt;=sup{u}sup{v}|v||u|
|uv|&lt;=|v||u|根号下sup{u}sup{v}的乘积
...

这里说的是Sobolev空间H^m,不是Lebesgue空间L^m,也就是说不仅要考虑到函数本身的Lebesgue空间范数,还要考虑到函数的m阶导数的范数,所以像这样的结论
||uv||_m <= sup{u} ||v||_m
除非你这个 sup{u} 的定义中还包含了u的m阶导数
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12楼2019-06-03 16:17:54
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lixy1217

木虫 (著名写手)

lixy1217: 回帖置顶 2019-06-03 16:21:40
这个问题我已经找到答案了,这样的一个范数估计结果说明Sobolev空间H^m (m>d/2时)是一个Banach代数。

在Adams和Fournier的专著《Sobolev space》中有提到

此贴可以终结了。
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13楼2019-06-03 16:21:33
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