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赵端阳

新虫 (正式写手)

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[求助] 关于密度矩阵的证明题一道已有2人参与

如图所示

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努力奋斗，劳逸结合，不负青春

1楼 2017-10-20 19:39:52

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ra2ghgzh

木虫 (正式写手)

学痴

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ...
感谢参与，应助指数 +1
赵端阳: 金币+200, ★★★★★最佳答案, 谢谢，问题解决了 2017-10-21 20:12:49

第一个不等式，由于 ${\rho _{mn}} = \rho _{nm}^*$ ，所以成立。
下面证明第二个不等式：
密度算符为:
$\rho = \sum\limits_i {{w_i}\left| {{\psi _i}} \right\rangle \left\langle {{\psi _i}} \right|}$
因此有：
${\rho _{mn}} = \sum\limits_i {{w_i}\left\langle {m} \mathrel{\left | {\vphantom {m {{\psi _i}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{{\psi _i}}} \right\rangle \left\langle {{{\psi _i}}} \mathrel{\left | {\vphantom {{{\psi _i}} n}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {n} \right\rangle }$
因此有：
${\rho _{mm}}{\rho _{nn}} = \sum\limits_{i,j} {{w_i}{w_j}\left( {\left\langle {m} \mathrel{\left | {\vphantom {m {{\psi _i}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{{\psi _i}}} \right\rangle \left\langle {{{\psi _i}}} \mathrel{\left | {\vphantom {{{\psi _i}} m}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {m} \right\rangle \left\langle {n} \mathrel{\left | {\vphantom {n {{\psi _j}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{{\psi _j}}} \right\rangle \left\langle {{{\psi _j}}} \mathrel{\left | {\vphantom {{{\psi _j}} n}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {n} \right\rangle } \right)}$
互换i和j不会改变上式，因此有：
${\rho _{mm}}{\rho _{nn}} = \sum\limits_{j,i} {{w_j}{w_i}\left( {\left\langle {m} \mathrel{\left | {\vphantom {m {{\psi _j}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{{\psi _j}}} \right\rangle \left\langle {{{\psi _j}}} \mathrel{\left | {\vphantom {{{\psi _j}} m}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {m} \right\rangle \left\langle {n} \mathrel{\left | {\vphantom {n {{\psi _i}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{{\psi _i}}} \right\rangle \left\langle {{{\psi _i}}} \mathrel{\left | {\vphantom {{{\psi _i}} n}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {n} \right\rangle } \right)}$
$= \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j} {{w_i}{w_j}} \left( {\left\langle {m} \mathrel{\left | {\vphantom {m {{\psi _i}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{{\psi _i}}} \right\rangle \left\langle {{{\psi _i}}} \mathrel{\left | {\vphantom {{{\psi _i}} m}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {m} \right\rangle \left\langle {n} \mathrel{\left | {\vphantom {n {{\psi _j}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{{\psi _j}}} \right\rangle \left\langle {{{\psi _j}}} \mathrel{\left | {\vphantom {{{\psi _j}} n}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {n} \right\rangle + } \right.$
$\left. {\left\langle {m} \mathrel{\left | {\vphantom {m {{\psi _j}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{{\psi _j}}} \right\rangle \left\langle {{{\psi _j}}} \mathrel{\left | {\vphantom {{{\psi _j}} m}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {m} \right\rangle \left\langle {n} \mathrel{\left | {\vphantom {n {{\psi _i}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{{\psi _i}}} \right\rangle \left\langle {{{\psi _i}}} \mathrel{\left | {\vphantom {{{\psi _i}} n}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {n} \right\rangle } \right)$
令
${c_{ij}} = \left\langle {m} \mathrel{\left | {\vphantom {m {{\psi _i}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{{\psi _i}}} \right\rangle \left\langle {n} \mathrel{\left | {\vphantom {n {{\psi _j}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{{\psi _j}}} \right\rangle$
则有：
${\rho _{mm}}{\rho _{nn}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j} {{w_i}{w_j}\left( {{{\left| {{c_{ij}}} \right|}^2} + {{\left| {{c_{ji}}} \right|}^2}} \right)}$
同理可得：
${\rho _{mn}}{\rho _{nm}} = \sum\limits_{i,j} {{w_i}{w_j}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{c_{ij}}c_{ji}^*} \right)}$
由于：
${\left| {{c_{ij}}} \right|^2} + {\left| {{c_{ji}}} \right|^2} \ge 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{c_{ij}}c_{ji}^2} \right)$
所以第二个不等式正确。

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我永远当不了老板

4楼2017-10-21 15:56:17

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zhihaogong25

金虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

这里面唯一要稍微考虑的的是 rho_{mn}rho_{nm} <= rho_{mm}rho_{nn}, 你可以联系行列式，
| rho_{mm} rho_{mn} |
| rho_{nm} rho_{nn} |
即要这个行列式大于等于0，然后这是密度矩阵的一个余子式，由于密度矩阵是半正定的，故等价于他的一个余子式大于0，故而这里的
行列式大于等于0，也就是证明了图上的式子。

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2楼2017-10-20 20:18:37

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赵端阳

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引用回帖:

2楼: Originally posted by zhihaogong25 at 2017-10-20 20:18:37
这里面唯一要稍微考虑的的是 rho_{mn}rho_{nm} <= rho_{mm}rho_{nn}, 你可以联系行列式，
| rho_{mm} rho_{mn} |
| rho_{nm} rho_{nn} |
即要这个行列式大于等于0，然后这是密度矩阵的一个余子式 ...

不好意思，我没看懂能再详细一些吗，或者告诉我那本书上有，谢谢

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努力奋斗，劳逸结合，不负青春

3楼2017-10-21 09:36:48

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