应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

CyRhmU.jpeg
小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 彻底推翻希尔伯特无穷旅馆的诡辩
331/4返回列表1234下一页
查看: 3401  |  回复: 32
只看楼主@他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看

数学诡异

新虫 (小有名气)

[交流] 彻底推翻希尔伯特无穷旅馆的诡辩已有21人参与

德国大数学家希尔伯特为了说明集合论中一一对应的问题，曾经讲了一个叫做无穷旅馆的故事，简述如下：有一个无穷旅馆，内设有无穷多个房间，有一天，旅馆内所有的房间全都住满了客人，但是又来了一位旅客，一定要在旅馆中住下，于是聪明的老板想了一个绝妙的方法，让1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间，3号房间的客人搬到4号房间……，这样，新来的客人住进了1号房间，而原来的客人也全都有了房间。
       这个故事刚一听起来感觉非常荒谬，但是人们又不能从中找出任何逻辑上的错误，于是，只好接受一个看起来荒谬的事实。
       那么，这个故事真的没有任何逻辑矛盾吗？当然有，其实这个故事是耍了一个无穷的逻辑陷阱，因为这个n号客人搬到n+1号房间的过程是无穷无尽的，谁也无法验证最后究竟有没有客人没有房间住。正因为这无穷无尽的过程无法验证，所以希尔伯特的诡辩才能得逞。
        所以，只要能够证明有一个客人没有房间住，就能彻底推翻希尔伯特的谬论。
       下面建立两个数学模型，来证明一定有一个人没有房间住。
       第一个数学模型：还是那个无穷旅馆，但是这一次，旅馆中只有一位客人，假设这位客人叫小A，他住在0号房间，小A闲得无聊，忽然想要参观一下旅馆中的所有房间，于是他设计出来了一个方法，使得他能够在一分钟的时间里参观完所有的房间：当时间为1/2分钟时，小A进入1号房间，当时间为3/4分钟时，小A进入2号房间，当时间为7/8分钟时，小A进入3号房间……依此类推，也就是在1分钟的时间里，小A会进入无穷多个房间，也就是将旅馆中所有的房间全都参观一遍。
        现在的问题是：当时间为1分钟时，小A在哪一个房间里？
可以证明，当时间为1分钟时，小A不在任何一个房间里，因为，假设1分钟时小A在G号房间里，因为G是一个自然数，那么根据皮亚诺公理，G的后继G+1也一定是一个自然数，同理：G+2，G+3，G+4……等全都是自然数，说明当时间为1分钟时，小A还有无穷多的房间没有参观到，这与小A能在1分钟的时间里参观完所有的房间相矛盾。
       所以，当时间为1分钟时，小A不在任何一个房间里。
      下面给出第二个数学模型：还是那个无穷旅馆，还是只有小A住在0号房间里（其余的所有房间全是空的），这时忽然来了无穷多个客人，要在旅馆中入住，旅馆老板为了维持秩序，让所有的客人按照自然数0，1，2，3……的顺序依次在门外排好序列，然后按照如下的方法依次进入旅馆房间：当时间为1/2分钟时，0号客人进入0号房间，则小A进入1号房间，当时间为3/4分钟时，0号客人进入1号房间，1号客人进入0号房间，则小A进入2号房间，当时间为7/8分钟时，0号客人进入2号房间，1号客人进入1号房间，2号客人进入0号房间，则小A进入3号房间……依此类推。
可以证明：当时间为1分钟时，所有的自然数编号的客人全都住进了房间里。
         但现在出现了两个问题：（1）：小A住在哪个房间？（2）：住在0号房间的客人的自然数编号是什么？
        由模型（1）可知：当时间为1分钟时，小A不在任何一个房间里，也就是说小A没有房间住。由于这个数学模型与希尔伯特的原数学模型是等价的，所以也就推翻了希尔伯特的所有客人全都有房间住的谬论。
        第（2）个问题：0号房间住的客人的编号不是任何一个自然数，因为，假设0号房间中住的客人的编号为E，因为E是一个自然数，那么根据皮亚诺公理，E的后继E+1也是一个自然数，如果0号房间中住的客人的编号为E，则E+1，E+2，E+3……等无穷多个客人全都没有房间可住，从而说明无穷旅馆的房间数是有限的，矛盾。
回复此楼

» 猜你喜欢

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:
1楼2017-04-02 21:05:25
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

jianliu67

木虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
5楼: Originally posted by 数学诡异 at 2017-04-03 00:43:05
根据皮亚诺公理，不存在无穷大自然数。
...

看来你是不能理解有这样一个自然数, 它是一个确定的数, 但是它比你给出的任何一个自然数都大. 这就是无穷集合的一个特点啊.
赞一下(5人) 回复此楼
6楼2017-04-04 09:05:40
 已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

yjgks

金虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
楼主，偷换概念，旅馆应理解为不可数无穷！

发自小木虫Android客户端
赞一下(4人) 回复此楼
7楼2017-04-04 09:28:35
 已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

zkhlwyx

金虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
无穷大的定义：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ，只要x适合不等式0<|x-x0|<δ，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。
如果0号房间中住的客人编号为E，那么有E+1，那么E就不是无穷大，这样你本身就是有限的，自然推出的是有限。
无穷大不是一个很大的数，没有数比无穷大更大。
赞一下(2人) 回复此楼
2楼2017-04-02 23:33:59
 已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

zkhlwyx

金虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
3楼: Originally posted by 数学诡异 at 2017-04-03 12:16:47
0号房间中住的客人的编号是什么？
...

+∞，你如果给0号房间一个确定的自然数编号，那这就不是无穷旅馆了，与题目矛盾
赞一下(2人) 回复此楼
4楼2017-04-03 12:42:57
 已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

supervb

铁杆木虫 (文坛精英)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
5楼: Originally posted by 数学诡异 at 2017-04-03 20:43:05
根据皮亚诺公理，不存在无穷大自然数。
...

为什么不存在无穷大自然数??
为了保证自然数有无限多个,皮亚诺给出了下面的公理:公理3.0不是任何数的后继数,即对任何自然数n,都有n+≠0。
赞一下(2人) 回复此楼
咱是做非线性随机动力学的哟
8楼2017-04-04 12:38:09
 已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

数学诡异

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by zkhlwyx at 2017-04-02 23:33:59
无穷大的定义：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ，只要x适合不等式0<|x-x0|<δ，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x ...

0号房间中住的客人的编号是什么？

发自小木虫Android客户端
赞一下(1人) 回复此楼
3楼2017-04-03 12:16:47
 已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

数学诡异

新虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by zkhlwyx at 2017-04-03 12:42:57
+∞，你如果给0号房间一个确定的自然数编号，那这就不是无穷旅馆了，与题目矛盾...

根据皮亚诺公理，不存在无穷大自然数。

发自小木虫Android客户端
赞一下(1人) 回复此楼
5楼2017-04-03 20:43:05
 已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

数学诡异

新虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by supervb at 2017-04-04 12:38:09
为什么不存在无穷大自然数??
为了保证自然数有无限多个,皮亚诺给出了下面的公理:公理3.0不是任何数的后继数,即对任何自然数n,都有n+≠0。...

你可以看一下陶哲轩的实分析，书中前面写着，所有的自然数全都是有限的，即不存在无穷大自然数，但全体自然数的数量是无限的。

发自小木虫Android客户端
赞一下(1人) 回复此楼
16楼2017-04-04 17:25:05
 已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

数学诡异

新虫 (小有名气)
引用回帖:
17楼: Originally posted by kingkongking at 2017-04-04 18:55:08
“内设有无穷多个房间，有一天，旅馆内所有的房间全都住满了客人”

无穷多个房间还都住满了人？真不知道你脑子怎么想的。

你应该问问希尔伯特的脑子是怎么想的

发自小木虫Android客户端
赞一下(1人) 回复此楼
18楼2017-04-04 22:37:36
 已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
普通回帖

supervb

铁杆木虫 (文坛精英)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
首先,两个模型是一样的,把第二个模型中除了"当时间为?分钟时,"和"小A进入?号房间" 之外的文字都删掉,跟第一个模型完全一样!
其次,时间的逼近方式就是芝诺悖论的形式,那么强求1分钟时的状态是无意义的!
最后,无穷旅馆的出现,恰恰是自然数集合自身对象和运算法则下的结果,即当运算本身作用于集合时,如果集合的映射为其自身,也受到运算的影响,形成迭代. 这种处理方式,最终也导致了理发师悖论的出现!
赞一下 回复此楼
咱是做非线性随机动力学的哟
9楼2017-04-04 12:43:18
 已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

xdxdxxd2

新虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
好无聊的问题，无穷大本身就是不存在的，没啥实际意义。

发自小木虫Android客户端
赞一下 回复此楼
10楼2017-04-04 13:25:43
 已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
相关版块跳转 我要订阅楼主 数学诡异 的主题更新
331/4返回列表1234下一页
普通表情 龙 兔 虎 猫 高级回复(可上传附件)
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭