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数学诡异

新虫 (小有名气)

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[交流] 彻底推翻希尔伯特无穷旅馆的诡辩已有21人参与

德国大数学家希尔伯特为了说明集合论中一一对应的问题，曾经讲了一个叫做无穷旅馆的故事，简述如下：有一个无穷旅馆，内设有无穷多个房间，有一天，旅馆内所有的房间全都住满了客人，但是又来了一位旅客，一定要在旅馆中住下，于是聪明的老板想了一个绝妙的方法，让1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间，3号房间的客人搬到4号房间……，这样，新来的客人住进了1号房间，而原来的客人也全都有了房间。
   这个故事刚一听起来感觉非常荒谬，但是人们又不能从中找出任何逻辑上的错误，于是，只好接受一个看起来荒谬的事实。
   那么，这个故事真的没有任何逻辑矛盾吗？当然有，其实这个故事是耍了一个无穷的逻辑陷阱，因为这个n号客人搬到n+1号房间的过程是无穷无尽的，谁也无法验证最后究竟有没有客人没有房间住。正因为这无穷无尽的过程无法验证，所以希尔伯特的诡辩才能得逞。
      所以，只要能够证明有一个客人没有房间住，就能彻底推翻希尔伯特的谬论。
   下面建立两个数学模型，来证明一定有一个人没有房间住。
   第一个数学模型：还是那个无穷旅馆，但是这一次，旅馆中只有一位客人，假设这位客人叫小A，他住在0号房间，小A闲得无聊，忽然想要参观一下旅馆中的所有房间，于是他设计出来了一个方法，使得他能够在一分钟的时间里参观完所有的房间：当时间为1/2分钟时，小A进入1号房间，当时间为3/4分钟时，小A进入2号房间，当时间为7/8分钟时，小A进入3号房间……依此类推，也就是在1分钟的时间里，小A会进入无穷多个房间，也就是将旅馆中所有的房间全都参观一遍。
      现在的问题是：当时间为1分钟时，小A在哪一个房间里？
可以证明，当时间为1分钟时，小A不在任何一个房间里，因为，假设1分钟时小A在G号房间里，因为G是一个自然数，那么根据皮亚诺公理，G的后继G+1也一定是一个自然数，同理：G+2，G+3，G+4……等全都是自然数，说明当时间为1分钟时，小A还有无穷多的房间没有参观到，这与小A能在1分钟的时间里参观完所有的房间相矛盾。
   所以，当时间为1分钟时，小A不在任何一个房间里。
   下面给出第二个数学模型：还是那个无穷旅馆，还是只有小A住在0号房间里（其余的所有房间全是空的），这时忽然来了无穷多个客人，要在旅馆中入住，旅馆老板为了维持秩序，让所有的客人按照自然数0，1，2，3……的顺序依次在门外排好序列，然后按照如下的方法依次进入旅馆房间：当时间为1/2分钟时，0号客人进入0号房间，则小A进入1号房间，当时间为3/4分钟时，0号客人进入1号房间，1号客人进入0号房间，则小A进入2号房间，当时间为7/8分钟时，0号客人进入2号房间，1号客人进入1号房间，2号客人进入0号房间，则小A进入3号房间……依此类推。
可以证明：当时间为1分钟时，所有的自然数编号的客人全都住进了房间里。
      但现在出现了两个问题：（1）：小A住在哪个房间？（2）：住在0号房间的客人的自然数编号是什么？
      由模型（1）可知：当时间为1分钟时，小A不在任何一个房间里，也就是说小A没有房间住。由于这个数学模型与希尔伯特的原数学模型是等价的，所以也就推翻了希尔伯特的所有客人全都有房间住的谬论。
      第（2）个问题：0号房间住的客人的编号不是任何一个自然数，因为，假设0号房间中住的客人的编号为E，因为E是一个自然数，那么根据皮亚诺公理，E的后继E+1也是一个自然数，如果0号房间中住的客人的编号为E，则E+1，E+2，E+3……等无穷多个客人全都没有房间可住，从而说明无穷旅馆的房间数是有限的，矛盾。

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