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tigou

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[交流] 通俗讲解良序定理的证明过程已有1人参与

我在小木虫上经常提问，大约有三分之一的机会可获得有益的应助。老是问问题有些过意不去，今天也贡献一个学习体会，希望对部分虫友有帮助。我真正理解良序定理是最近几天的事。以前不理解有两个原因，一个是自己笨不能理解集合论教材的表述方式，第二个原因是中外集合论教材都有一个共同的毛病，混用映射与映射的值域，导致读者在理解超限归纳法的时候容易出现混乱。
言归正传。在选择公理的基础上证明良序定理的通俗思路是这样的：任给非空集 $S$ ，存在一个
$P(S)^\ast:=P(S)-\{\emptyset\}$
上的选择函数 $G$ 。也就是说， $G$ 的定义域是 $P(S)^\ast$ ，值域是 $S$ 。用选择函数 $G$ 对 $S$ 中的元素进行排序, 最小元即 $G(S)$ 。第二个元素即 $G(S-\{G(S)\})$ 。依次类推。超限递归定理保证，存在一个唯一的以全体序数为定义域的类映射 $F$ 满足，任给序数 $\alpha$ ，
$F(\alpha)=\begin{cases}G(S-\text{ran}(F|_\alpha)), &S\ne\text{ran}(F|_\alpha) \\ G(S), &S=\text{ran}(F|_\alpha)\end{cases}.$
其中 $F|_\alpha$ 表示 $F$ 在 $\alpha$ 上的限制，同时约定 $\text{ran}(F|_\emptyset)=\emptyset$ 。最后证明, 存在一个最小的序数 $\beta$ 使得 $\text{ran}(F|_\beta)=S$ 。这样, $S$ 中的每一个元素都编上了一个比 $\beta$ 小的序号，这种按序号大小生成的序就是 $S$ 上的良序。

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0/0的意义是所有数的集合

1楼 2017-01-09 17:11:42

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hylpy

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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

有问号可能是因为多了空格,楼主可以修改的

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凡事，一笑而过。。。。。。

2楼2017-01-09 18:27:53

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tigou

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引用回帖:

2楼: Originally posted by hylpy at 2017-01-09 18:27:53
有问号可能是因为多了空格,楼主可以修改的

没人参与时可修改主楼，一旦有人参与，就不能修改主楼了。这里再试试。
$F(\alpha)=\begin{cases}G(S-\text{ran}(F|_\alpha)),&S\ne\text{ran}(F|_\alpha))\\G(S),&S=\text{ran}(F|_\alpha))\end{cases}.$

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0/0的意义是所有数的集合

3楼2017-01-09 22:10:14

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tigou

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