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枫飛

新虫 (正式写手)

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[求助] 不定积分已有1人参与

分部还是换元

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1楼2016-12-28 22:09:06

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Sxandy

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不是所有的原函数都存在，假如存在也不一定能具体算出来，^_^

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2楼2016-12-29 06:36:03

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Sxandy

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2楼: Originally posted by Sxandy at 2016-12-29 06:36:03
不是所有的原函数都存在，假如存在也不一定能具体算出来，^_^

可以先换元，再分部，可得出形如arctanx/x的不定积分。

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3楼2016-12-29 06:38:33

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alober

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
枫飛: 金币+20, ★★★★★最佳答案 2016-12-29 11:47:27
Edstrayer: 金币+3 2017-02-02 02:15:08

如果是楼主写的那个积分，最后一个积分不能用初等函数表示。
$I \mathop{=}^{y=e^x} \int\frac{\ln ydy}{y^2+e}=\int\ln y (\frac{\arctan\frac{y}{\sqrt{e}}}{\sqrt{e}})'dy=\frac{\ln y\arctan\frac{y}{\sqrt{e}}}{\sqrt{e}}-\int\frac{\arctan\frac{y}{\sqrt{e}}}{y\sqrt{e}}dy \mathop{=}^{z=\frac{y}{\sqrt{e}}} \frac{(\frac{1}{2}+\ln z)\arctan z}{\sqrt{e}}-\frac{1}{\sqrt{e}}\int\frac{\arctan z}{z}dz$

我猜原来的可能是下面这个积分。
$\int\frac{x}{e^x+e^{x-1}}dx \mathop{=}^{y=e^x} \frac{e}{1+e}\int\frac{\ln y}{y^2}dy=-\frac{e}{1+e}\frac{1+\ln y}{y}$

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枫飛

4楼2016-12-29 10:15:48

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浅沫小璇

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5楼2016-12-29 10:25:07

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枫飛

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引用回帖:

4楼: Originally posted by alober at 2016-12-29 10:15:48
如果是楼主写的那个积分，最后一个积分不能用初等函数表示。
I \mathop{=}^{y=e^x} \int\frac{\ln ydy}{y^2+e}=\int\ln y (\frac{\arctan\frac{y}{\sqrt{e}}}{\sqrt{e}})'dy=\frac{\ln y\arctan\frac{y}{\sqrt{e}} ...

谢谢

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6楼2016-12-29 11:47:55

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