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[求助] 求极限已有1人参与

$\lim_{n\to+\infty}\frac{\sum_{k=1}^n\frac{\ln n!-\ln (n-k)!-k\ln n}{k(k+1)}}{\ln n}=?$
结果应该是0，但我不知道怎么证明，先谢了！

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1楼 2016-10-12 21:59:07

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hank612

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基本上就是 @菜鸟000 的思路, 并且只考虑分子.

分子等于 $\sum_{k=1}^n \frac{\sum_{j=1}^{k-1} \ln(1-\frac{j}{n})}{k(k+1)}$
交换k 和 j 的求和次序, 它又等于 $\sum_{j=1}^{n-1} \ln(1-\frac{j}{n})(\frac{1}{j+1}-\frac{1}{n+1})$

这个, 基本上是一个定积分, $\frac{1}{n+1}\cdot \ln(1-\frac{j}{n}) \cdot \frac{1-\frac{j}{n}}{\frac{1+j}{n}}$ 近似等于
$\int_{0}^1 \frac{(1-x)\ln(1-x)}{x} dx=1-\frac{\pi^2}{6}$

由于分子是个有限的数, 所以你的猜想是成立的.

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We_must_know. We_will_know.

8楼2016-10-14 05:48:13

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China

2楼2016-10-12 23:47:56

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2楼: Originally posted by 菜鸟000 at 2016-10-12 23:47:56

可否将倒数第六行以下的写清楚一点，或者拍清晰一点？比较模糊，看不清，谢谢了！

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3楼2016-10-13 00:38:46

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4楼2016-10-13 01:09:52

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China

5楼2016-10-13 01:25:26

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5楼: Originally posted by 菜鸟000 at 2016-10-13 01:25:26

我仔细看了一下，有几点疑问：1.不应该是 $\lim_{n\to\infty}\left ( \ln n-\frac{\ln n!+\ln n}{n+1} \right )=1$ 么，你的怎么是0？2.原式>=0那里的放缩没看懂；3.你最后得到的关于原式的估计是错误的，因为明显有 $\ln (n-1)!-n\ln n\leq 0$ ；4.最后两边取极限之后，左边我算的是-1，右边是 $-\infty$ ，你应该算错了；5.你是不是把原来极限中的分母 $\ln n$ 给漏掉了。。。

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6楼2016-10-13 13:15:03

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单调有界，极限不知道怎么求，抱歉

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China

7楼2016-10-13 14:32:23

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8楼: Originally posted by hank612 at 2016-10-14 05:48:13
基本上就是菜鸟000 的思路, 并且只考虑分子.

分子等于\sum_{k=1}^n \frac{\sum_{j=1}^{k-1} \ln(1-\frac{j}{n})}{k(k+1)}
交换k 和 j 的求和次序, 它又等于 \sum_{j=1}^{n-1} \ln(1-\frac{j}{n})(\frac{1}{j+ ...

我懂了，感谢hank612大神！

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9楼2016-10-14 14:04:21

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