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i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
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性别: GG
专业: 偏微分方程

[求助] 求极限已有1人参与

$\lim_{n\to+\infty}\frac{\sum_{k=1}^n\frac{\ln n!-\ln (n-k)!-k\ln n}{k(k+1)}}{\ln n}=?$
结果应该是0，但我不知道怎么证明，先谢了！

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1楼 2016-10-12 21:59:07

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
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虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

基本上就是 @菜鸟000 的思路, 并且只考虑分子.

分子等于 $\sum_{k=1}^n \frac{\sum_{j=1}^{k-1} \ln(1-\frac{j}{n})}{k(k+1)}$
交换k 和 j 的求和次序, 它又等于 $\sum_{j=1}^{n-1} \ln(1-\frac{j}{n})(\frac{1}{j+1}-\frac{1}{n+1})$

这个, 基本上是一个定积分, $\frac{1}{n+1}\cdot \ln(1-\frac{j}{n}) \cdot \frac{1-\frac{j}{n}}{\frac{1+j}{n}}$ 近似等于
$\int_{0}^1 \frac{(1-x)\ln(1-x)}{x} dx=1-\frac{\pi^2}{6}$

由于分子是个有限的数, 所以你的猜想是成立的.