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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求证:f(x)=0
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

[求助] 求证:f(x)=0 已有1人参与

设函数f(x)在[a,+∞)上可导,f(a)=0,且当x≥a时,有|f'(x)|≤|f(x)|.求证:f(x)=0.
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凡事，一笑而过。。。。。。
1楼 2016-09-26 19:36:29
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i维数

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
hylpy: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 很赞。要是用Latexe写出就更好了 2016-09-27 09:16:26
在[a,a+1/2]上对f用拉格朗日中值定理，可以得到对任意x属于[a,a+1/2]，|f(x)|=|f(x)-f(a)|=|(x-a)f'(c1)|<=|f'(c1)|/2<=|f(c1)|/2,得到|f(x)|<=|f(cn)|/2^n,其中a<cn<...<c1<x，令n趋于无穷大，因为f可导，所以必有界，由此可知f恒为0.由f(a+1/2)=0,用上面同样的证法，可知f在[a+1/2,a+1]上恒为0，如此下去，知f恒为0.
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2楼2016-09-27 00:03:06
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yang05052002

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by i维数 at 2016-09-27 00:03:06
在上对f用拉格朗日中值定理，可以得到对任意x属于，|f(x)|=|f(x)-f(a)|=|(x-a)f'(c1)|<=|f'(c1)|/2<=|f(c1)|/2,得到|f(x)|<=|f(cn)|/2^n,其中a<cn<...<c1<x，令n趋于无穷大，因为f可导，所以必 ...

得到|f(x)|<=|f(cn)|/2^n,
这步怎么来的?

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心地清静，自然而然；胸襟宽广，包容万物！
3楼2016-09-27 12:59:35
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by yang05052002 at 2016-09-27 12:59:35
得到|f(x)|<=|f(cn)|/2^n,
这步怎么来的?
...

|f(x)|<=|f(c1)|/2<=|f(c2)|/4<=...(这里将c1看成新的x,继续用中值定理)。
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4楼2016-09-27 13:08:58
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yang05052002

木虫 (正式写手)
看懂了。+_+

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心地清静，自然而然；胸襟宽广，包容万物！
5楼2016-09-27 13:10:54
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