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hylpy专家顾问 (知名作家)
唵嘛呢叭咪吽
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[求助]
求证:f(x)=0 已有1人参与
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| 设函数f(x)在[a,+∞)上可导,f(a)=0,且当x≥a时,有|f'(x)|≤|f(x)|.求证:f(x)=0. |
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yang05052002
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3楼2016-09-27 12:59:35
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
hylpy: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 很赞。要是用Latexe写出就更好了 2016-09-27 09:16:26
感谢参与，应助指数 +1
hylpy: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 很赞。要是用Latexe写出就更好了 2016-09-27 09:16:26
| 在[a,a+1/2]上对f用拉格朗日中值定理，可以得到对任意x属于[a,a+1/2]，|f(x)|=|f(x)-f(a)|=|(x-a)f'(c1)|<=|f'(c1)|/2<=|f(c1)|/2,得到|f(x)|<=|f(cn)|/2^n,其中a<cn<...<c1<x，令n趋于无穷大，因为f可导，所以必有界，由此可知f恒为0.由f(a+1/2)=0,用上面同样的证法，可知f在[a+1/2,a+1]上恒为0，如此下去，知f恒为0. |
2楼2016-09-27 00:03:06
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4楼2016-09-27 13:08:58
yang05052002
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5楼2016-09-27 13:10:54
20