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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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我只能证明一个弱的多的结论。

首先，注意到 $\mbox{max}_{[0,\infty)}\frac{\sin{x}}{\sqrt{x}}\leq 1$ , 以及 $\mbox{max}_{[0,\infty)}\frac{\sqrt{2}+\sqrt{k}}{\sqrt{1+k}}=\sqrt{3}$ 在 k=1/2 处取到。

于是你想要的不等式左边等于 $\frac{(y+ky)\sin{\frac{1}{y+ky}}-y\sin{\frac{1}{y}}}{\sqrt{ky}}$ ，其中，k>0,y>0

而这等于 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{k}}\cdot 2\cos(*)\cdot \sqrt{\frac{k}{2(1+k)y}}\frac{\sin{\frac{k}{2(1+k)y}}}{\sqrt{\frac{k}{2(1+k)y}}}+\sqrt{ky}\cdot \sqrt{\frac{1}{(1+k)y}}\frac{\sin{\frac{1}{(1+k)y}}}{\sqrt{\frac{1}{(1+k)y}}}$

由上面的两个最大值，知道上式小于等于 $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{k}}{\sqrt{1+k}}\leq \sqrt{3}$

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We_must_know. We_will_know.

11楼2016-09-05 13:00:43

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yrgdy

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

希望能够帮到你，

！

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附件 1 : I-20160905.pdf

2016-09-05 15:41:13, 79.41 K

12楼2016-09-05 15:41:31

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158958

新虫 (初入文坛)

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引用回帖:

12楼: Originally posted by yrgdy at 2016-09-05 15:41:31
希望能够帮到你，

！

(x-y)^2>(ysinx-xsiny)^2这步好像有问题吧？分别取x,y为pi,pi/2好像不等式就不成立了

发自小木虫Android客户端

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13楼2016-09-05 16:38:06

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yrgdy

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引用回帖:

13楼: Originally posted by 158958 at 2016-09-05 16:38:06
(x-y)^2>(ysinx-xsiny)^2这步好像有问题吧？分别取x,y为pi,pi/2好像不等式就不成立了
...

非常感谢，我再思考！

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14楼2016-09-05 22:56:15

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i维数

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引用回帖:

11楼: Originally posted by hank612 at 2016-09-05 13:00:43
我只能证明一个弱的多的结论。

首先，注意到 \mbox{max}_{[0,\infty)}\frac{\sin{x}}{\sqrt{x}}\leq 1, 以及 \mbox{max}_{[0,\infty)}\frac{\sqrt{2}+\sqrt{k}}{\sqrt{1+k}}=\sqrt{3} 在 k=1/2 处取到。

于是 ...

谢谢hank612大神，不过我不太明白为什么原不等式的左边可以写成那样？那个k是什么，是x/y-1吗？还有为什么绝对值可以去掉？谢谢了！

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15楼2016-09-06 01:21:52

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