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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

20楼: Originally posted by i维数 at 2016-09-07 22:35:26
我没有答案，不过楼上已经有大神@whjwd给出了答案，看这里http://arxiv.org/pdf/1407.6871v1.pdf，而且@hank612大神也给出了一个估计，不过我没看懂。。还有2015年全国大学生数学竞赛（数学类）决赛里也给出了一个 ...

前面写的颠三倒四,逻辑混乱. 现在重写一下,希望能够表述清楚.

如果不那么讲究,随意放缩, 可以证明 $\frac{|x\sin{\frac{1}{x}}-y\sin{\frac{1}{y}}|}{\sqrt{|x-y|}}<\sqrt{3}$

如你所观察到的, 令 $x=y+ky$ , 其中 k>0, 则上式左边小于等于
$\frac{y|\sin{\frac{1}{(1+k)y}}-\sin{\frac{1}{y}}|+ky|\sin{\frac{1}{(1+k)y}}|}{sqrt{ky}}$

由和差化积以及你提示用的三角不等式, 知道 $|\sin{A}-\sin{B}|=2|\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}|\leq 2|\sin{\frac{A-B}{2}}|$

再利用 $|\sin{x}|\leq \sqrt{|x|}$ , 不等式左边继续小于
$\frac{2y\sqrt{\frac{ky}{2(1+k)y^2}}+ky\sqrt{\frac{1}{(1+k)y}}}{\sqrt{ky}}=\frac{2+\sqrt{k}}{\sqrt{1+k}}$

而k>0时, $\frac{2+\sqrt{k}}{\sqrt{1+k}}\leq \sqrt{3}$ 是相当明显的, 最大值在k=1/2处取到.

鉴于 $\frac{\sqrt{3}-\frac{2}}{\sqrt{2}}\approx 22.5\%$ , 这结果忒不精确了,仅供参考.

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We_must_know. We_will_know.

21楼2016-09-08 03:28:01

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hylpy

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【答案】应助回帖

@whjwd给出了答案里，有一个小的疑点，如下:
"Because $\sin x\leq 1; \sin y\leq 1$ and $x\neq y$ , so we obtain
$\left ( x-y \right )^2> \left ( y\sin x-x\sin y \right )^2\geq 2xy\left ( x-y \right )$ "
前面的不等式有凝点。

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凡事，一笑而过。。。。。。

22楼2016-09-08 09:52:56

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sy1133

新虫 (正式写手)

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引用回帖:

22楼: Originally posted by hylpy at 2016-09-08 09:52:56
@whjwd给出了答案里，有一个小的疑点，如下:
"Because \sin x\leq 1; \sin y\leq 1 and x\neq y, so we obtain
\left ( x-y \right )^2> \left ( y\sin x-x\sin y \right )^2\geq 2xy\left ( x-y \r ...

这个是不对的。

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23楼2016-09-08 12:12:27

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