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木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
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在线: 941.9小时
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专业: 偏微分方程

[求助] 求证三角不等式已有2人参与

如图，先谢谢各位大神！

三角不等式.png

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1楼 2016-09-04 00:10:31

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
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在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

我只能证明一个弱的多的结论。

首先，注意到 $\mbox{max}_{[0,\infty)}\frac{\sin{x}}{\sqrt{x}}\leq 1$ , 以及 $\mbox{max}_{[0,\infty)}\frac{\sqrt{2}+\sqrt{k}}{\sqrt{1+k}}=\sqrt{3}$ 在 k=1/2 处取到。

于是你想要的不等式左边等于 $\frac{(y+ky)\sin{\frac{1}{y+ky}}-y\sin{\frac{1}{y}}}{\sqrt{ky}}$ ，其中，k>0,y>0

而这等于 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{k}}\cdot 2\cos(*)\cdot \sqrt{\frac{k}{2(1+k)y}}\frac{\sin{\frac{k}{2(1+k)y}}}{\sqrt{\frac{k}{2(1+k)y}}}+\sqrt{ky}\cdot \sqrt{\frac{1}{(1+k)y}}\frac{\sin{\frac{1}{(1+k)y}}}{\sqrt{\frac{1}{(1+k)y}}}$

由上面的两个最大值，知道上式小于等于 $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{k}}{\sqrt{1+k}}\leq \sqrt{3}$