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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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[交流] Please proof by two kind of method 已有3人参与

Exercise $\hspace{0.5cm}$ Please proof by two kind of method

$3\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{k(k+1)}{2}\right)^3=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^3+2\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^4$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-08-17 04:18:09

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hank612

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Edstrayer: 金币+5 2016-08-19 19:18:29

引用回帖:

6楼: Originally posted by i维数 at 2016-08-18 22:56:31
直接计算也可以，不过计算量颇大。。。

恒等式.png

@i维数的计算功力深厚无比，大赞。

我捣鼓一个几乎不需要计算的思路，画蛇添足哈。

假设有m串糖葫芦，每串上有(n+2)个山楂，楼主可以在每串上随便挑三颗吃，于是有
${\binom{n+2}{3}}^m$ 种吃法。

当然，我们可以假定在这m串中，最大的序号等于(k+2), 其中1<=k<=n. 那么会有m种子情况。

情况一，m串的最大序号都等于(k+2), 那么每串可以挑的吃法只剩下 $\binom{k+1}{2}$ 了，于是情况一总共有 ${\binom{k+1}{2}}^m$ 种。

情况二， m串中恰好有(m-1)串的最大序号等于(k+2). 那么先挑一串最大序号小于等于(k+1)的，该串有 $\binom{k+1}{3}$ 种吃法，剩下的每串均有 $\binom{k+1}{2}$ 。于是情况二总共有 $\binom{m}{1}\cdot \binom{k+1}{3}\cdot {\binom{k+1}{2}}^{m-1}$ 种。

。。。
情况j, m串中恰好有(m-j+1)串的最大序号等于(k+2), 有上面分析，这种情况下有 $\binom{m}{j-1}\cdot {\binom{k+1}{3}}^{j-1}\cdot {\binom{k+1}{2}}^{m-j+1}$ 种吃法。

换句话说，有组合恒等式
${\binom{n+2}{3}}^m=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m}{j}{\binom{k+1}{3}}^{j} {\binom{k+1}{2}}^{m-j}$

注意到 $\binom{k+1}{3}=\binom{k+1}{2}\frac{k-1}{3}$ , 恒等式还可以写成
${\binom{n+2}{3}}^m=\sum_{k=1}^{n}{\binom{k+1}{2}}^{m}\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m}{j}\left(\frac{k-1}{3}\right)^{j}$

让m=1, 就有 $\sum_{k=1}^n \frac{n(n+1)}{2}=\binom{n+2}{3}$ ;

让m=3, 就有 ${\binom{n+2}{3}}^3=\sum_{k=1}^{n}{\binom{k+1}{2}}^{3}\frac{k^2+k+1}{3}$

这经过变形，恰好就是 @Edstrayer 版主大神的恒等式。

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We_must_know. We_will_know.

7楼2016-08-19 13:05:42

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wurongjun

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是不是哪里写错啦!?

善恶到头终有报,人间正道是沧桑.

2楼2016-08-17 06:31:23

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Mr__Right

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引用回帖:

2楼: Originally posted by wurongjun at 2016-08-17 06:31:23
是不是哪里写错啦!?

可能你把指数的位置看错了。问题没错。

数学归纳法应该算一个。

文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。

3楼2016-08-17 13:04:18

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wurongjun

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3楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-08-17 13:04:18
可能你把指数的位置看错了。问题没错。

数学归纳法应该算一个。...

果然!so sorry!

善恶到头终有报,人间正道是沧桑.

4楼2016-08-17 16:13:15

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