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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 递推数列求极限
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i维数

木虫 (正式写手)

[求助] 递推数列求极限 已有2人参与

如图，谢谢各位了！

递推数列求极限
递推数列求极限.png
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1楼 2016-06-11 01:25:44
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i维数

木虫 (正式写手)
进一步，如果x_0换为其他任意一个正数，结论是否依然成立？
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2楼2016-06-11 01:47:33
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kingsir

铁杆木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
应该是先证明数列{xn}单调减有下界，然后对递推公式两边取极限，因为xn的极限与xn+1的极限相同，1/2^(n+1)的极限为0，所以可以得到一个方程，就可以解出xn的极限为1了
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3楼2016-06-11 08:30:21
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by kingsir at 2016-06-11 08:30:21
应该是先证明数列{xn}单调减有下界，然后对递推公式两边取极限，因为xn的极限与xn+1的极限相同，1/2^(n+1)的极限为0，所以可以得到一个方程，就可以解出xn的极限为1了

谢谢，我会了。应该是证明单调递增有上界。对于初始值不为1的情况你怎么看？
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4楼2016-06-11 11:53:12
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by i维数 at 2016-06-11 01:47:33
进一步，如果x_0换为其他任意一个正数，结论是否依然成立？

我来借花献佛一下

引理：设 0<s<1,是绝对收敛级数, 那么


证明：绝对收敛级数的乘积还是绝对收敛的， 从而的通项趋于0。

若序列满足, 则显然
趋于0, 不论 a1取什么值。

这就是 @i维数 的定理：

当时，不论x_0 取任意一个正数，都有 .
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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

i维数
We_must_know. We_will_know.
5楼2016-06-11 12:12:06
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
假设n趋于无穷时极限存在，若能由递推式推得极限确实存在，则问题得证。
令递推式两边的n趋于无穷，xn的极限 存在且为m，则：
m=1*sqrt(m)
m=1
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6楼2016-06-11 13:01:28
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i维数

木虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
5楼: Originally posted by hank612 at 2016-06-11 12:12:06
我来借花献佛一下

引理：设 0<s<1,\sum_{n=1}^{\infty}a_n是绝对收敛级数, 那么
\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n-1}s^k b_{n-k}=0

证明：绝对收敛级数的乘积还是绝对收敛的， 从而\sum_{k=1 ...

谢谢大神！懂了这个推广很好，用数学归纳法处理这道问题反而不能推广。
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7楼2016-06-11 13:08:50
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i维数

木虫 (正式写手)
贴出x_0=1时的解法。欢迎大家多多提供更多思路
递推数列求极限-1
求递推数列极限.png
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8楼2016-06-11 13:13:55
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by peterflyer at 2016-06-11 13:01:28
假设n趋于无穷时极限存在，若能由递推式推得极限确实存在，则问题得证。
令递推式两边的n趋于无穷，xn的极限 存在且为m，则：
m=1*sqrt(m)
m=1

谢谢回复，关键是要证明极限存在呢。
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9楼2016-06-11 13:15:20
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