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i维数

木虫 (正式写手)

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[求助] 递推数列求极限已有2人参与

如图，谢谢各位了！

递推数列求极限.png

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1楼2016-06-11 01:25:44

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kingsir

铁杆木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

应该是先证明数列{xn}单调减有下界，然后对递推公式两边取极限，因为xn的极限与xn+1的极限相同，1/2^(n+1)的极限为0，所以可以得到一个方程，就可以解出xn的极限为1了

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3楼2016-06-11 08:30:21

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i维数

木虫 (正式写手)

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进一步，如果x_0换为其他任意一个正数，结论是否依然成立？

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2楼2016-06-11 01:47:33

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i维数

木虫 (正式写手)

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引用回帖:

3楼: Originally posted by kingsir at 2016-06-11 08:30:21
应该是先证明数列{xn}单调减有下界，然后对递推公式两边取极限，因为xn的极限与xn+1的极限相同，1/2^(n+1)的极限为0，所以可以得到一个方程，就可以解出xn的极限为1了

谢谢，我会了。应该是证明单调递增有上界。对于初始值不为1的情况你怎么看？

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4楼2016-06-11 11:53:12

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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2楼: Originally posted by i维数 at 2016-06-11 01:47:33
进一步，如果x_0换为其他任意一个正数，结论是否依然成立？

我来借花献佛一下

引理：设 0<s<1, $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 是绝对收敛级数, 那么
$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n-1}s^k b_{n-k}=0$

证明：绝对收敛级数的乘积还是绝对收敛的，从而 $\sum_{k=1}^{\infty}s^k x^k\cdot \sum_{k=1}^{\infty}b_k x^k =\sum_{n=2}^{\infty} (\sum_{k=1}^{n-1} s^k b_{n-k})x^n$ 的通项趋于0。

若序列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=s(a_n+b_n)$ , 则显然
$a_{n+1}=s^na_1+\sum_{k=1}^n s^k b_{n+1-k}$ 趋于0, 不论 a1取什么值。

这就是 @i维数的定理：

当 $s=\frac{1}{2}, a_n=\ln(x_n), b_n=\ln(1-\frac{1}{2^n})$ 时，不论x_0 取任意一个正数，都有 $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=1$ .

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i维数

We_must_know. We_will_know.

5楼2016-06-11 12:12:06

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