[求助] 求证一个（组合）极限猜想

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1楼2016-05-25 23:09:10

hank612

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9楼: Originally posted by i维数 at 2016-07-12 01:32:03
几天前才看到原来这是维尔斯特拉斯逼近论里面的内容。

1.png

2.png
...

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_polynomial
里面的证明和我的思路大致重合, 数学真是一个有机的整体啊.

楼主思路很敏锐, 思考的问题和经典有异曲同工之妙, 可喜可贺.

We_must_know. We_will_know.

10楼2016-07-12 03:10:38

查看全部 10 个回答

i维数

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好像x是可以推广到全体实数的

2楼2016-05-25 23:16:00

i维数

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看起来有点像Toeplitz定理。不知是否可以往这个方向考虑？

3楼2016-05-25 23:50:31

hank612

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2楼: Originally posted by i维数 at 2016-05-25 23:16:00
好像x是可以推广到全体实数的

只是一些想法

令 $P(n,k)=\frac{C(n,k)}{2^n}$ 为二项式分布X=B(n,p)的密度函数(p=1/2), 则 X/n (密度函数不变,形状压缩很像 $\delta$ 函数)可以用正态分布 $\sim N(\frac{1}{2},\frac{1}{2\sqrt{\pi}})$ 来近似这一族的P_k.

令k=a*n并且求和中a的步长为 1/n, 那么你的要求变成: $\sum_{k=a*n, a=0}^1 (a^x+(1-a)^x-2(\frac{1}{2})^x)\cdot P(n,k)$ 当 n 趋于无穷大时极限为 0.

现在考验楼主的硬分析功底: 当函数值较大时, 概率曲线的积分面积却非常小; 当概率值集中在X/n=1/2附近时, 函数值又非常小. 所以总体而言, 你的猜想成立 (对正实数x来说).

对负实数x, 我不确定上面思路还是否有效.

We_must_know. We_will_know.

4楼2016-05-27 07:38:06