[求助] 求证一个（组合）极限猜想

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1楼2016-05-25 23:09:10

i维数

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看起来有点像Toeplitz定理。不知是否可以往这个方向考虑？

3楼2016-05-25 23:50:31

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i维数

木虫 (正式写手)

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好像x是可以推广到全体实数的

2楼2016-05-25 23:16:00

hank612

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引用回帖:

2楼: Originally posted by i维数 at 2016-05-25 23:16:00
好像x是可以推广到全体实数的

只是一些想法

令 $P(n,k)=\frac{C(n,k)}{2^n}$ 为二项式分布X=B(n,p)的密度函数(p=1/2), 则 X/n (密度函数不变,形状压缩很像 $\delta$ 函数)可以用正态分布 $\sim N(\frac{1}{2},\frac{1}{2\sqrt{\pi}})$ 来近似这一族的P_k.

令k=a*n并且求和中a的步长为 1/n, 那么你的要求变成: $\sum_{k=a*n, a=0}^1 (a^x+(1-a)^x-2(\frac{1}{2})^x)\cdot P(n,k)$ 当 n 趋于无穷大时极限为 0.

现在考验楼主的硬分析功底: 当函数值较大时, 概率曲线的积分面积却非常小; 当概率值集中在X/n=1/2附近时, 函数值又非常小. 所以总体而言, 你的猜想成立 (对正实数x来说).

对负实数x, 我不确定上面思路还是否有效.

We_must_know. We_will_know.

4楼2016-05-27 07:38:06

hank612

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引用回帖:

4楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-27 07:38:06
只是一些想法

令P(n,k)=\frac{C(n,k)}{2^n}为二项式分布X=B(n,p)的密度函数(p=1/2), 则 X/n (密度函数不变,形状压缩很像\delta函数)可以用正态分布 \sim N(\frac{1}{2},\frac{1}{2\sqrt{\pi}})来近似这一 ...

笔误: 正态分布是 N(np,npq) 线性变换后的 $N(\frac{1}{2},\frac{1}{2\sqrt{n}})$ , 这才接近激波函数.

其实, 设 $f(a)=a^x+(1-a)^x-2^{1-x}$ 在 $|a-\frac{1}{2}|<\delta$ 时 $|f(a)|<\epsilon$ ; 而f(a) 在[0,1]上最大值为常数C.

取n充分大使得分布曲线在 $|a-\frac{1}{2}|<\delta$ 段的积分面积大于 $(1-\epsilon)$ , 那么求和明显小于等于 $C\cdot \epsilon +\epsilon\cdot 1$ , 所以极限为0.

We_must_know. We_will_know.

5楼2016-05-27 07:55:02