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[求助] 一道积分问题，可能需要实分析与复分析的知识已有2人参与

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1楼 2016-05-24 23:09:14

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

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喜欢数的黑: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 谢谢 2016-05-25 08:15:22

引用回帖:

7楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-25 03:53:56
a，b，c是实数吧？复数不能比较大小，自然谈不上极值计算

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=10307098&fpage=1
与本题非常像, 因此解决起来可以照猫画虎, 非常感谢 @i维数, @gold2007的肩膀给大家以支撑.

本文只能针对a,b,c都是实数的情况来讨论, 如果它们是复数, 楼主可以证明积分对路径无关么(因为被积函数不是解析函数, 讨论可积性还是必要的)???

首先证明: 如果 $f(x)=a+bx+cx^2+x^3$ 满足 $\int_{-1}^1 f(x)dx=\int_{-1}^1 x\cdot f(x)dx=\int_{-1}^1 x^2 \cdot f(x)dx=0$ , 则 $a=0,\ c=0,\ b=-\frac{3}{5}.$ (证明: 略)

其次, 设 $f(x)=x^3-\frac{3}{5}x,$ 证明 $\int_{-1}^1 (f(x)+A+Bx+Cx^2)^2dx=\int_{-1}^1 f^2(x)dx+\int_{-1}^1(A+Bx+Cx^2)^2 dx$ 对任意的 A,B,C 实数都成立. (证明: 略)

于是最小值为 $\int_{-1}^1 (x^3-\frac{3}{5}x)^2=\frac{8}{175}$ .