版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

返回列表

本帖产生 1 个数学EPI ，点击这里进行查看

i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 3148.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 942小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

[求助] 求证一道（积分）不等式

如图，谢谢各位！

不等式.png

回复此楼

» 猜你喜欢

1楼 2016-05-12 23:53:11

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

回帖置顶 ( 共有1个 )

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 数学EPI+1, 应助指数+1, thank 2016-05-19 07:36:48
i维数: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2016-05-19 17:52:19

长文, 慎入.

(1) 考虑次数小于n的所有实系数多项式组成的n维线性空间V,定义内积为 $<f,g>:=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx$ . V中所有系数和为零 $\{g(x)\in V:g(1)=0\}$ 的多项式组成(n-1)维子空间W.于是W在V中的正交补空间内有且仅有一个多项式 $f(x)=b_0+b_1x+b_2x^2\dots+b_{n-1}x^{n-1}$ 满足f(1)=1.
(2)容易看出, 在V中所有满足F(1)=1的多项式F(x)中, 必有 $\int_{0}^{1}F^2(x)dx\geq \int_{0}^{1} f^2(x)dx$ . 原因很简单, 由于F(x)-f(x)属于W, 所以 $\int_{0}^1(F-f)*fdx=0$ , 于是 $\int_{0}^{1}(F-f+f)^2=\int_{0}^1(F-f)^2+f^2+2(F-f)f=\int_{0}^1 (F-f)^2+\int_{0}^1 f^2$ , 从而f是使得平方的积分取到最小值但系数和仍为1的唯一多项式.

(3)由于 $1-x, 1-x^2,\ldots,1-x^{n-1}$ 恰好是W的一组基,且f(x)-1属于W, 我们知道
$\int_{0}^1 f^2(x)dx=\int_{0}^1 f(x)dx=\int_{0}^1 x*f(x)dx=\ldots=\int_{0}^1 x^{n-1}f(x)dx$ , 设这一串等式的值为A.

(4)代入f的表达式, 逐项积分, 得到n 个等式:
$b_0+\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{3}+\dots+\frac{b_{n-1}}{n}=A$
$\frac{b_0}{2}+\frac{b_1}{3}+\frac{b_2}{4}+\dots+\frac{b_{n-1}}{n+1}=A$
......,
$\frac{b_0}{n}+\frac{b_1}{ n+1}+\frac{b_2}{n+2}+\dots+\frac{b_{n-1}}{2n-1}=A$

(5)现在我们要踩一踩巨人的肩膀了.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_matrix
$b_i$ 的系数矩阵恰好是Hilbert matrix H, $H_{ij}=\frac{1}{i+j-1}$ , 于是
$1=f(1)=\sum_{k=0}^{n-1} b_k$ 恰好是未知的常数A乘以 inverse Hilbert matrix的所有系数之和.
后者让我们再踩Samuel Schechter或者 R.B.Smith的肩膀(文章中第75页第一,二行formula(13) )
https://math.berkeley.edu/~strai ... y.matrices.1959.pdf
全部系数和等于s=n(p+n), 这里p=0, 于是 $1=A*n^2$ , 得到@ i维数的猜想 $A=\frac{1}{n^2}$
文章里formula(16)或上面的wikipedia连接有Hilbert逆矩阵的每个元素的具体表达式,大家可以得到b_i的具体表达式. 大致是 $b_0=(-1)^{n+1}\frac{1}{n},b_1=(-1)^{n+2}(n-\frac{1}{n})$ ,
以及 $(-1)^{n+j}*n*b_j$ 都是自然数.

赞一下

回复此楼

» 本帖附件资源列表

欢迎监督和反馈：小木虫仅提供交流平台，不对该内容负责。
本内容由用户自主发布，如果其内容涉及到知识产权问题，其责任在于用户本人，如对版权有异议，请联系邮箱：xiaomuchong@tal.com
附件 1 : schechter.cauchy.matrices.1959.pdf

2016-05-18 05:05:37, 388.82 K

We_must_know. We_will_know.

13楼2016-05-18 05:05:40

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

$\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2-n^2\int_0^1\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\right)^2dx$
$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j-n^2\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{a_k^2}{2k+1}+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}\frac{a_ia_j}{i+j+1}\right)$
$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{n^2}{2k+1}\right)a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}\left(1-\frac{n^2}{i+j+1}\right)a_ia_j$
$\leqslant\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{n^2}{2n-1}\right)a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}\left(1-\frac{n^2}{2(n-1)}\right)a_ia_j$
$=\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2-2\frac{n^2-2n+2}{2(n-1)}\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j$
$\leqslant\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2-2\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j$
$=\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2$
$\leqslant 0$
所以就有不等式：

$\frac{\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2}{\int_0^1\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\right)^2dx}\leqslant n^2$

至于不等式的等号何时成立，有待进一步的考虑！

赞一下(1人)

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2016-05-13 03:41:36

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

gold2007

捐助贵宾 (正式写手)

应助: 6 (幼儿园)
金币: 6394.3
散金: 679
红花: 18
帖子: 824
在线: 200.6小时
虫号: 2348409
注册: 2013-03-12
专业: 固体力学

引用回帖:

8楼: Originally posted by i维数 at 2016-05-13 17:15:56
我对拉格朗日数乘法的了解不多，就我所知此法的一个困难是解方程。用在这题的话要解的方程是不是会很麻烦？可否详细写一下？谢谢了！...

这样计算。求解一个线性方程组即可。

发自小木虫IOS客户端

赞一下(1人)

回复此楼

9楼2016-05-13 22:49:56

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

普通回帖

i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 3148.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 942小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

引用回帖:

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-13 03:41:36
\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2-n^2\int_0^1\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\right)^2dx
=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j-n^2\left(\sum\li ...

题目没有说ak为正数，你那里的放缩应该行不通

赞一下

回复此楼

3楼2016-05-13 12:27:17

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

gold2007

捐助贵宾 (正式写手)

应助: 6 (幼儿园)
金币: 6394.3
散金: 679
红花: 18
帖子: 824
在线: 200.6小时
虫号: 2348409
注册: 2013-03-12
专业: 固体力学

Max是对一切a_k求？

发自小木虫IOS客户端

赞一下

回复此楼

4楼2016-05-13 12:35:18

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 3148.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 942小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

引用回帖:

4楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-13 12:35:18
Max是对一切a_k求？

对，只需满足对所有不全为0的实数a_k

赞一下

回复此楼

5楼2016-05-13 12:43:45

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

gold2007

捐助贵宾 (正式写手)

应助: 6 (幼儿园)
金币: 6394.3
散金: 679
红花: 18
帖子: 824
在线: 200.6小时
虫号: 2348409
注册: 2013-03-12
专业: 固体力学

令分式的分母为1，转化为约束极值问题，用拉格朗日乘数法可解出。

发自小木虫IOS客户端

赞一下

回复此楼

6楼2016-05-13 15:31:16

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

gold2007

捐助贵宾 (正式写手)

应助: 6 (幼儿园)
金币: 6394.3
散金: 679
红花: 18
帖子: 824
在线: 200.6小时
虫号: 2348409
注册: 2013-03-12
专业: 固体力学

令分式分子为1，可能会更好些，这样的话，由拉格朗日乘数法行到的方程继是线性的。

发自小木虫IOS客户端

赞一下

回复此楼

7楼2016-05-13 16:51:48

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 3148.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 942小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

引用回帖:

7楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-13 16:51:48
令分式分子为1，可能会更好些，这样的话，由拉格朗日乘数法行到的方程继是线性的。

我对拉格朗日数乘法的了解不多，就我所知此法的一个困难是解方程。用在这题的话要解的方程是不是会很麻烦？可否详细写一下？谢谢了！

赞一下

回复此楼

8楼2016-05-13 17:15:56

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 3148.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 942小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

引用回帖:

9楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-13 22:49:56
这样计算。求解一个线性方程组即可。

...

然后呢，试了一下，解方程好像并不好解

赞一下

回复此楼

10楼2016-05-13 23:16:42

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

相关版块跳转我要订阅楼主 i维数的主题更新

返回列表

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[基金申请] 建议基金发布提前给出明确的时间点 +11	kulium 2026-08-21	14/700	2026-08-24 02:12 by 流流伤
[基金申请] 范进中举一文的中心思想 +4	炎黄贵胄 2026-08-22	5/250	2026-08-24 02:09 by 流流伤
[教师之家] 跳槽后在研项目怎么办？ +5	简单化xn 2026-08-22	10/500	2026-08-23 12:38 by 简单化xn
[基金申请] 什么时候开奖？ +9	CrisMessi 2026-08-18	10/500	2026-08-23 12:03 by 丶昵称占用
[基金申请] 93BebMhtakh前后11位开头都是大写 +7	且听虎啸 2026-08-17	8/400	2026-08-22 21:55 by 医学老男孩
[基金申请] 只有每年这种时候来逛逛小木虫 +24	yaoyewhu2008 2026-08-20	26/1300	2026-08-22 17:43 by kammury
[基金申请] 人气不行了 +8	fansofjerry 2026-08-21	8/400	2026-08-22 16:30 by zyqchem
[基金申请] 今天基金会出结果吗？20260819 +16	kkkl_v 2026-08-19	17/850	2026-08-22 16:12 by 阿布Abu
[基金申请] 时间戳今天，20号变了 +5	archvillain 2026-08-20	5/250	2026-08-22 06:12 by hui_daxiao
[基金申请] 放榜前的不淡定 40+4	snowwithsea 2026-08-19	14/700	2026-08-21 23:51 by cratir
[基金申请] 今日不放榜？网传国自然预计 8 月 27 日可查结果 +16	医学老男孩 2026-08-20	20/1000	2026-08-21 21:13 by Ldrop2023
[基金申请] 科研孤儿太难了 +17	我4大白菜 2026-08-20	18/900	2026-08-21 20:57 by zhangev
[基金申请] 我面上完蛋了 +7	且听虎啸 2026-08-20	8/400	2026-08-21 12:31 by 酷酷墨镜
[基金申请] 应该是下周三26日公布了吧？ +4	哈哈蛤？ 2026-08-21	4/200	2026-08-21 10:58 by Vivilian
[论文投稿] 投稿咨询 +5	wwm09 2026-08-17	7/350	2026-08-21 10:11 by 期刊论文帮手
[基金申请] 今天放榜没戏了吧 +9	yuleib84 2026-08-19	11/550	2026-08-21 10:06 by gltch
[基金申请] 基金啊基金 +4	longfie172 2026-08-20	4/200	2026-08-21 08:58 by mark mao
[基金申请] 时间戳变了，能看出什么问题？ +18	基诺咪客 2026-08-17	23/1150	2026-08-20 17:19 by Godzela
[基金申请] 重要消息，中午系统在维护 +11	yuleib84 2026-08-18	12/600	2026-08-20 11:09 by xskun
[基金申请] 明天放榜？ +5	Shxjjxjkx 2026-08-18	5/250	2026-08-18 18:14 by -大大大大大-