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i维数

木虫 (正式写手)

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[求助] 求证一道（积分）不等式

如图，谢谢各位！

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1楼 2016-05-12 23:53:11

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hank612

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 数学EPI+1, 应助指数+1, thank 2016-05-19 07:36:48
i维数: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2016-05-19 17:52:19

长文, 慎入.

(1) 考虑次数小于n的所有实系数多项式组成的n维线性空间V,定义内积为 $<f,g>:=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx$ . V中所有系数和为零 $\{g(x)\in V:g(1)=0\}$ 的多项式组成(n-1)维子空间W.于是W在V中的正交补空间内有且仅有一个多项式 $f(x)=b_0+b_1x+b_2x^2\dots+b_{n-1}x^{n-1}$ 满足f(1)=1.
(2)容易看出, 在V中所有满足F(1)=1的多项式F(x)中, 必有 $\int_{0}^{1}F^2(x)dx\geq \int_{0}^{1} f^2(x)dx$ . 原因很简单, 由于F(x)-f(x)属于W, 所以 $\int_{0}^1(F-f)*fdx=0$ , 于是 $\int_{0}^{1}(F-f+f)^2=\int_{0}^1(F-f)^2+f^2+2(F-f)f=\int_{0}^1 (F-f)^2+\int_{0}^1 f^2$ , 从而f是使得平方的积分取到最小值但系数和仍为1的唯一多项式.

(3)由于 $1-x, 1-x^2,\ldots,1-x^{n-1}$ 恰好是W的一组基,且f(x)-1属于W, 我们知道
$\int_{0}^1 f^2(x)dx=\int_{0}^1 f(x)dx=\int_{0}^1 x*f(x)dx=\ldots=\int_{0}^1 x^{n-1}f(x)dx$ , 设这一串等式的值为A.

(4)代入f的表达式, 逐项积分, 得到n 个等式:
$b_0+\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{3}+\dots+\frac{b_{n-1}}{n}=A$
$\frac{b_0}{2}+\frac{b_1}{3}+\frac{b_2}{4}+\dots+\frac{b_{n-1}}{n+1}=A$
......,
$\frac{b_0}{n}+\frac{b_1}{ n+1}+\frac{b_2}{n+2}+\dots+\frac{b_{n-1}}{2n-1}=A$

(5)现在我们要踩一踩巨人的肩膀了.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_matrix
$b_i$ 的系数矩阵恰好是Hilbert matrix H, $H_{ij}=\frac{1}{i+j-1}$ , 于是
$1=f(1)=\sum_{k=0}^{n-1} b_k$ 恰好是未知的常数A乘以 inverse Hilbert matrix的所有系数之和.
后者让我们再踩Samuel Schechter或者 R.B.Smith的肩膀(文章中第75页第一,二行formula(13) )
https://math.berkeley.edu/~strai ... y.matrices.1959.pdf
全部系数和等于s=n(p+n), 这里p=0, 于是 $1=A*n^2$ , 得到@ i维数的猜想 $A=\frac{1}{n^2}$
文章里formula(16)或上面的wikipedia连接有Hilbert逆矩阵的每个元素的具体表达式,大家可以得到b_i的具体表达式. 大致是 $b_0=(-1)^{n+1}\frac{1}{n},b_1=(-1)^{n+2}(n-\frac{1}{n})$ ,
以及 $(-1)^{n+j}*n*b_j$ 都是自然数.

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附件 1 : schechter.cauchy.matrices.1959.pdf

2016-05-18 05:05:37, 388.82 K

We_must_know. We_will_know.

13楼2016-05-18 05:05:40

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Edstrayer

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$\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2-n^2\int_0^1\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\right)^2dx$
$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j-n^2\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{a_k^2}{2k+1}+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}\frac{a_ia_j}{i+j+1}\right)$
$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{n^2}{2k+1}\right)a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}\left(1-\frac{n^2}{i+j+1}\right)a_ia_j$
$\leqslant\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{n^2}{2n-1}\right)a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}\left(1-\frac{n^2}{2(n-1)}\right)a_ia_j$
$=\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2-2\frac{n^2-2n+2}{2(n-1)}\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j$
$\leqslant\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2-2\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j$
$=\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2$
$\leqslant 0$
所以就有不等式：

$\frac{\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2}{\int_0^1\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\right)^2dx}\leqslant n^2$

至于不等式的等号何时成立，有待进一步的考虑！

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2016-05-13 03:41:36

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gold2007

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8楼: Originally posted by i维数 at 2016-05-13 17:15:56
我对拉格朗日数乘法的了解不多，就我所知此法的一个困难是解方程。用在这题的话要解的方程是不是会很麻烦？可否详细写一下？谢谢了！...

这样计算。求解一个线性方程组即可。

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9楼2016-05-13 22:49:56

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i维数

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2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-13 03:41:36
\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2-n^2\int_0^1\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\right)^2dx
=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j-n^2\left(\sum\li ...

题目没有说ak为正数，你那里的放缩应该行不通

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3楼2016-05-13 12:27:17

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Max是对一切a_k求？

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4楼2016-05-13 12:35:18

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4楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-13 12:35:18
Max是对一切a_k求？

对，只需满足对所有不全为0的实数a_k

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5楼2016-05-13 12:43:45

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令分式的分母为1，转化为约束极值问题，用拉格朗日乘数法可解出。

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6楼2016-05-13 15:31:16

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令分式分子为1，可能会更好些，这样的话，由拉格朗日乘数法行到的方程继是线性的。

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7楼2016-05-13 16:51:48

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7楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-13 16:51:48
令分式分子为1，可能会更好些，这样的话，由拉格朗日乘数法行到的方程继是线性的。

我对拉格朗日数乘法的了解不多，就我所知此法的一个困难是解方程。用在这题的话要解的方程是不是会很麻烦？可否详细写一下？谢谢了！

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8楼2016-05-13 17:15:56

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9楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-13 22:49:56
这样计算。求解一个线性方程组即可。

...

然后呢，试了一下，解方程好像并不好解

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10楼2016-05-13 23:16:42

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