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i维数

木虫 (正式写手)

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[求助] 求证一道（积分）不等式

如图，谢谢各位！

不等式.png

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1楼2016-05-12 23:53:11

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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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$\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2-n^2\int_0^1\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\right)^2dx$
$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j-n^2\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{a_k^2}{2k+1}+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}\frac{a_ia_j}{i+j+1}\right)$
$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{n^2}{2k+1}\right)a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}\left(1-\frac{n^2}{i+j+1}\right)a_ia_j$
$\leqslant\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{n^2}{2n-1}\right)a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}\left(1-\frac{n^2}{2(n-1)}\right)a_ia_j$
$=\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2-2\frac{n^2-2n+2}{2(n-1)}\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j$
$\leqslant\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2-2\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j$
$=\frac{-(n-1)^2}{2n-1}\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2$
$\leqslant 0$
所以就有不等式：

$\frac{\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2}{\int_0^1\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\right)^2dx}\leqslant n^2$

至于不等式的等号何时成立，有待进一步的考虑！

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2016-05-13 03:41:36

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gold2007

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8楼: Originally posted by i维数 at 2016-05-13 17:15:56
我对拉格朗日数乘法的了解不多，就我所知此法的一个困难是解方程。用在这题的话要解的方程是不是会很麻烦？可否详细写一下？谢谢了！...

这样计算。求解一个线性方程组即可。

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9楼2016-05-13 22:49:56

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i维数

木虫 (正式写手)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-13 03:41:36
\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2-n^2\int_0^1\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\right)^2dx
=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k^2+2\sum\limits_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}a_ia_j-n^2\left(\sum\li ...

题目没有说ak为正数，你那里的放缩应该行不通

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3楼2016-05-13 12:27:17

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