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gold2007

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10楼: Originally posted by i维数 at 2016-05-13 23:16:42
然后呢，试了一下，解方程好像并不好解...

思路就这样，计算线性方程组的解的确不轻松。

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11楼2016-05-14 00:15:24

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i维数

木虫 (正式写手)

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引用回帖:

11楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-14 00:15:24
思路就这样，计算线性方程组的解的确不轻松。
...

ok,谢了

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12楼2016-05-14 00:21:10

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 数学EPI+1, 应助指数+1, thank 2016-05-19 07:36:48
i维数: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2016-05-19 17:52:19

长文, 慎入.

(1) 考虑次数小于n的所有实系数多项式组成的n维线性空间V,定义内积为 $<f,g>:=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx$ . V中所有系数和为零 $\{g(x)\in V:g(1)=0\}$ 的多项式组成(n-1)维子空间W.于是W在V中的正交补空间内有且仅有一个多项式 $f(x)=b_0+b_1x+b_2x^2\dots+b_{n-1}x^{n-1}$ 满足f(1)=1.
(2)容易看出, 在V中所有满足F(1)=1的多项式F(x)中, 必有 $\int_{0}^{1}F^2(x)dx\geq \int_{0}^{1} f^2(x)dx$ . 原因很简单, 由于F(x)-f(x)属于W, 所以 $\int_{0}^1(F-f)*fdx=0$ , 于是 $\int_{0}^{1}(F-f+f)^2=\int_{0}^1(F-f)^2+f^2+2(F-f)f=\int_{0}^1 (F-f)^2+\int_{0}^1 f^2$ , 从而f是使得平方的积分取到最小值但系数和仍为1的唯一多项式.

(3)由于 $1-x, 1-x^2,\ldots,1-x^{n-1}$ 恰好是W的一组基,且f(x)-1属于W, 我们知道
$\int_{0}^1 f^2(x)dx=\int_{0}^1 f(x)dx=\int_{0}^1 x*f(x)dx=\ldots=\int_{0}^1 x^{n-1}f(x)dx$ , 设这一串等式的值为A.

(4)代入f的表达式, 逐项积分, 得到n 个等式:
$b_0+\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{3}+\dots+\frac{b_{n-1}}{n}=A$
$\frac{b_0}{2}+\frac{b_1}{3}+\frac{b_2}{4}+\dots+\frac{b_{n-1}}{n+1}=A$
......,
$\frac{b_0}{n}+\frac{b_1}{ n+1}+\frac{b_2}{n+2}+\dots+\frac{b_{n-1}}{2n-1}=A$

(5)现在我们要踩一踩巨人的肩膀了.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_matrix
$b_i$ 的系数矩阵恰好是Hilbert matrix H, $H_{ij}=\frac{1}{i+j-1}$ , 于是
$1=f(1)=\sum_{k=0}^{n-1} b_k$ 恰好是未知的常数A乘以 inverse Hilbert matrix的所有系数之和.
后者让我们再踩Samuel Schechter或者 R.B.Smith的肩膀(文章中第75页第一,二行formula(13) )
https://math.berkeley.edu/~strai ... y.matrices.1959.pdf
全部系数和等于s=n(p+n), 这里p=0, 于是 $1=A*n^2$ , 得到@ i维数的猜想 $A=\frac{1}{n^2}$
文章里formula(16)或上面的wikipedia连接有Hilbert逆矩阵的每个元素的具体表达式,大家可以得到b_i的具体表达式. 大致是 $b_0=(-1)^{n+1}\frac{1}{n},b_1=(-1)^{n+2}(n-\frac{1}{n})$ ,
以及 $(-1)^{n+j}*n*b_j$ 都是自然数.

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附件 1 : schechter.cauchy.matrices.1959.pdf

2016-05-18 05:05:37, 388.82 K

We_must_know. We_will_know.

13楼2016-05-18 05:05:40

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i维数

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引用回帖:

13楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-18 05:05:40
长文, 慎入.

(1) 考虑次数小于n的所有实系数多项式组成的n维线性空间V,定义内积为 <f,g>:=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx . V中所有系数和为零\{g(x)\in V:g(1)=0\}的多项式组成(n-1)维子空间W.于是W在V中的正交 ...

谢谢大神！我试着看看能不能看懂。。。

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14楼2016-05-19 00:19:48

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