版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

返回列表

本帖产生 1 个数学EPI ，点击这里进行查看

gold2007

捐助贵宾 (正式写手)

应助: 6 (幼儿园)
金币: 6394.3
散金: 679
红花: 18
帖子: 824
在线: 200.6小时
虫号: 2348409
注册: 2013-03-12
专业: 固体力学

引用回帖:

10楼: Originally posted by i维数 at 2016-05-13 23:16:42
然后呢，试了一下，解方程好像并不好解...

思路就这样，计算线性方程组的解的确不轻松。

发自小木虫IOS客户端

赞一下

回复此楼

11楼2016-05-14 00:15:24

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 2788.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 942.1小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

引用回帖:

11楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-14 00:15:24
思路就这样，计算线性方程组的解的确不轻松。
...

ok,谢了

回复此楼

12楼2016-05-14 00:21:10

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 数学EPI+1, 应助指数+1, thank 2016-05-19 07:36:48
i维数: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2016-05-19 17:52:19

长文, 慎入.

(1) 考虑次数小于n的所有实系数多项式组成的n维线性空间V,定义内积为 $<f,g>:=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx$ . V中所有系数和为零 $\{g(x)\in V:g(1)=0\}$ 的多项式组成(n-1)维子空间W.于是W在V中的正交补空间内有且仅有一个多项式 $f(x)=b_0+b_1x+b_2x^2\dots+b_{n-1}x^{n-1}$ 满足f(1)=1.
(2)容易看出, 在V中所有满足F(1)=1的多项式F(x)中, 必有 $\int_{0}^{1}F^2(x)dx\geq \int_{0}^{1} f^2(x)dx$ . 原因很简单, 由于F(x)-f(x)属于W, 所以 $\int_{0}^1(F-f)*fdx=0$ , 于是 $\int_{0}^{1}(F-f+f)^2=\int_{0}^1(F-f)^2+f^2+2(F-f)f=\int_{0}^1 (F-f)^2+\int_{0}^1 f^2$ , 从而f是使得平方的积分取到最小值但系数和仍为1的唯一多项式.

(3)由于 $1-x, 1-x^2,\ldots,1-x^{n-1}$ 恰好是W的一组基,且f(x)-1属于W, 我们知道
$\int_{0}^1 f^2(x)dx=\int_{0}^1 f(x)dx=\int_{0}^1 x*f(x)dx=\ldots=\int_{0}^1 x^{n-1}f(x)dx$ , 设这一串等式的值为A.

(4)代入f的表达式, 逐项积分, 得到n 个等式:
$b_0+\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{3}+\dots+\frac{b_{n-1}}{n}=A$
$\frac{b_0}{2}+\frac{b_1}{3}+\frac{b_2}{4}+\dots+\frac{b_{n-1}}{n+1}=A$
......,
$\frac{b_0}{n}+\frac{b_1}{ n+1}+\frac{b_2}{n+2}+\dots+\frac{b_{n-1}}{2n-1}=A$

(5)现在我们要踩一踩巨人的肩膀了.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_matrix
$b_i$ 的系数矩阵恰好是Hilbert matrix H, $H_{ij}=\frac{1}{i+j-1}$ , 于是
$1=f(1)=\sum_{k=0}^{n-1} b_k$ 恰好是未知的常数A乘以 inverse Hilbert matrix的所有系数之和.
后者让我们再踩Samuel Schechter或者 R.B.Smith的肩膀(文章中第75页第一,二行formula(13) )
https://math.berkeley.edu/~strai ... y.matrices.1959.pdf
全部系数和等于s=n(p+n), 这里p=0, 于是 $1=A*n^2$ , 得到@ i维数的猜想 $A=\frac{1}{n^2}$
文章里formula(16)或上面的wikipedia连接有Hilbert逆矩阵的每个元素的具体表达式,大家可以得到b_i的具体表达式. 大致是 $b_0=(-1)^{n+1}\frac{1}{n},b_1=(-1)^{n+2}(n-\frac{1}{n})$ ,
以及 $(-1)^{n+j}*n*b_j$ 都是自然数.

赞一下

回复此楼

» 本帖附件资源列表

欢迎监督和反馈：小木虫仅提供交流平台，不对该内容负责。
本内容由用户自主发布，如果其内容涉及到知识产权问题，其责任在于用户本人，如对版权有异议，请联系邮箱：xiaomuchong@tal.com
附件 1 : schechter.cauchy.matrices.1959.pdf

2016-05-18 05:05:37, 388.82 K

We_must_know. We_will_know.

13楼2016-05-18 05:05:40

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 2788.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 942.1小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

引用回帖:

13楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-18 05:05:40
长文, 慎入.

(1) 考虑次数小于n的所有实系数多项式组成的n维线性空间V,定义内积为 <f,g>:=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx . V中所有系数和为零\{g(x)\in V:g(1)=0\}的多项式组成(n-1)维子空间W.于是W在V中的正交 ...

谢谢大神！我试着看看能不能看懂。。。

赞一下

回复此楼

14楼2016-05-19 00:19:48

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

相关版块跳转我要订阅楼主 i维数的主题更新

返回列表

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[公派出国] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.5.4,科目全,可+急 +3	1uaZt2kAZj2S 2026-10-30	14/700	2026-11-01 07:01 by YXM1FDCSE8Bn
[硕博家园] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.5.4,科目全,可+急 +3	1uaZt2kAZj2S 2026-10-30	16/800	2026-11-01 07:01 by YXM1FDCSE8Bn
[考博] 售SCI一区文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可伽急 +3	1uaZt2kAZj2S 2026-10-30	15/750	2026-11-01 06:53 by YXM1FDCSE8Bn
[基金申请] 售SCI-T0P文章，我:8O.5.5.1.O.54,科目齐全,可+急 +5	X5bHxOULxFqb 2026-10-30	21/1050	2026-11-01 06:46 by YXM1FDCSE8Bn
[考博] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.5.4,科目全,可+急 +4	X5bHxOULxFqb 2026-10-30	21/1050	2026-11-01 06:46 by YXM1FDCSE8Bn
[考研] 售SCI一区文章，我:8O5.5.1.O5.4,科目全,可伽急 +3	xvJS1BYDxvBS 2026-10-31	8/400	2026-11-01 05:48 by YXM1FDCSE8Bn
[基金申请] 售SCI一区文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可伽急 +3	xvJS1BYDxvBS 2026-10-31	8/400	2026-11-01 05:48 by YXM1FDCSE8Bn
[找工作] 售SCI一区文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可伽急 +3	1uaZt2kAZj2S 2026-10-31	6/300	2026-11-01 05:41 by YXM1FDCSE8Bn
[公派出国] 售SCI文章，我:8O5.5.1.O.54,科目齐全,可+急 +3	1uaZt2kAZj2S 2026-10-31	6/300	2026-11-01 05:41 by YXM1FDCSE8Bn
[博后之家] 售SCI文章，我:8O5.5.1.O.54,科目齐全,可+急 +3	1uaZt2kAZj2S 2026-10-30	15/750	2026-11-01 05:22 by YXM1FDCSE8Bn
[基金申请] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +3	1uaZt2kAZj2S 2026-10-31	3/150	2026-11-01 04:04 by YXM1FDCSE8Bn
[论文投稿] 售一区SCI文章T0P，我:8O.551.O54,科目全,可十急 +3	1uaZt2kAZj2S 2026-10-31	8/400	2026-11-01 03:59 by YXM1FDCSE8Bn
[基金申请] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +3	1uaZt2kAZj2S 2026-10-30	10/500	2026-11-01 03:51 by YXM1FDCSE8Bn
[论文投稿] 售SCI文章，我:8O.5.5.1O.54,科目全,可十急 +4	X5bHxOULxFqb 2026-10-30	25/1250	2026-11-01 03:30 by YXM1FDCSE8Bn
[考博] 售SCI-T0P文章，我:8O.5.5.1.O.54,科目齐全,可+急 +3	1uaZt2kAZj2S 2026-10-31	5/250	2026-11-01 02:25 by YXM1FDCSE8Bn
[教师之家] 售SCI-T0P文章，我:8O.5.5.1.O.54,科目齐全,可+急 +3	X5bHxOULxFqb 2026-10-30	13/650	2026-10-31 17:12 by hKe7U1kad5Sg
[考博] 2027博士申请-临床检验诊断学、病原生物学、微生物方向 50+3	yyh@ 2026-10-28	4/200	2026-10-31 12:47 by 可淡不可忘
[硕博家园] 越来越担心硕士毕业后没有竞争力了 +8	zuesli 2026-10-27	14/700	2026-10-30 22:44 by 好运连连公主
[基金申请] 论文的挂名怎么评判贡献？基金申请中，排名第一的挂名文章 +3	biily 2026-10-25	3/150	2026-10-30 18:33 by 旁观2020
[文学芳草园] 闲聊 +3	myrtle 2026-10-25	6/300	2026-10-29 15:28 by myrtle