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1楼 2016-05-24 23:09:14

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gold2007

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10楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-25 07:37:17
发现abc取遍复数的结果与取遍实数的结果相同。
目标函数的极值待有空再算。

...

算得最小值为1/2800

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11楼2016-05-25 07:56:19

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Edstrayer

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a，b，c是实数吧？复数不能比较大小，自然谈不上极值计算

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7楼2016-05-25 03:53:56

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hank612

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7楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-25 03:53:56
a，b，c是实数吧？复数不能比较大小，自然谈不上极值计算

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=10307098&fpage=1
与本题非常像, 因此解决起来可以照猫画虎, 非常感谢 @i维数, @gold2007的肩膀给大家以支撑.

本文只能针对a,b,c都是实数的情况来讨论, 如果它们是复数, 楼主可以证明积分对路径无关么(因为被积函数不是解析函数, 讨论可积性还是必要的)???

首先证明: 如果 $f(x)=a+bx+cx^2+x^3$ 满足 $\int_{-1}^1 f(x)dx=\int_{-1}^1 x\cdot f(x)dx=\int_{-1}^1 x^2 \cdot f(x)dx=0$ , 则 $a=0,\ c=0,\ b=-\frac{3}{5}.$ (证明: 略)

其次, 设 $f(x)=x^3-\frac{3}{5}x,$ 证明 $\int_{-1}^1 (f(x)+A+Bx+Cx^2)^2dx=\int_{-1}^1 f^2(x)dx+\int_{-1}^1(A+Bx+Cx^2)^2 dx$ 对任意的 A,B,C 实数都成立. (证明: 略)

于是最小值为 $\int_{-1}^1 (x^3-\frac{3}{5}x)^2=\frac{8}{175}$ .

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gold2007

We_must_know. We_will_know.

8楼2016-05-25 04:42:24

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gold2007

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8楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-25 04:42:24
http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=10307098&fpage=1
与本题非常像, 因此解决起来可以照猫画虎, 非常感谢 @i维数, @gold2007的肩膀给大家以支撑.

本文只能针对a,b,c都是实数的情况来讨论, 如果它 ...

那一题是约束优化，所以需要复杂的技术。
这题是无约束优化，令梯度为0即可。

我有一点困惑是：若abc可取复数，则应当把实部虚部分开，化为6个实参数的无约束优化问题。

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9楼2016-05-25 06:46:56

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gold2007

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发现abc取遍复数的结果与取遍实数的结果相同。
目标函数的极值待有空再算。

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10楼2016-05-25 07:37:17

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引用回帖:

应兄台之邀，我计算了积分限从-1到1的情形

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i维数

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11楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-25 07:56:19
算得最小值为1/2800

...

话说可以推广吗

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18楼2016-05-25 22:15:54

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cooooldog

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12楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-25 10:34:09
应兄台之邀，我计算了积分限从-1到1的情形

...

只有这个答案是对的
a=0,c=0, b=3/5

ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็

27楼2016-05-26 09:48:58

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哈哈笑泥

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是求最小吗？
直接积分，求驻点

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2楼2016-05-24 23:18:15

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2楼: Originally posted by 哈哈笑泥 at 2016-05-24 23:18:15
是求最小吗？
直接积分，求驻点

能写一下过程吗？^_^谢谢

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3楼2016-05-24 23:23:23

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哈哈笑泥

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3楼: Originally posted by 喜欢数的黑 at 2016-05-24 23:23:23
能写一下过程吗？^_^谢谢
...

abc是复数吗？

直接平方展开，再积分！再对a，b，c求偏导，求驻点

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4楼2016-05-24 23:27:32

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嗯，我明天去试试

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5楼2016-05-24 23:33:37

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先把偏导直接拿进积分号求，然后再积分，会大幅度减少计算量。

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