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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教： A,B>0, n>0, 那么
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baique

银虫 (小有名气)

[求助] 请教： A,B>0, n>0, 那么 已有2人参与

(A + B)的n次方与A的n次方+ B的n次方有没有大小关系？谢谢。
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1楼 2016-04-22 14:38:53
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

i维数

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
baique: 金币+50, ★★★★★最佳答案, 非常感谢！ 2016-04-22 17:19:25
引用回帖:
9楼: Originally posted by baique at 2016-04-22 16:01:25
真的非常感谢你。
我猜可以小于右边的2^(n+2)分之一，你觉得可能吗？...

我觉得应该是1/2^(n+1).令A/B=x,B/A=y,xy=1,则等价于证明（1+x)^n+(1+y)^n>=2^(n+1),只需将括号展开，将对应的每两项用均值不等式就可以证明了。
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10楼2016-04-22 16:10:58
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
用二项式定理就可知:
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凡事，一笑而过。。。。。。
11楼2016-04-22 17:05:43
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普通回帖

i维数

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
有的。作商后等价于比较（x+1)^n与1+x^n的大小关系，其中x=A/B>0.令f(x)=（x+1)^n-1-x^n，那么f'(x)=n(x+1)^(n-1)-nx^(n-1),若n> =1,则f'(x)>=0,f(x)>f(0)=0;若n<1，f(x)递减，f(x)<f(0)=0.
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2楼2016-04-22 15:16:40
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baique

银虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by i维数 at 2016-04-22 15:16:40
有的。作商后等价于比较（x+1)^n与1+x^n的大小关系，其中x=A/B>0.令f(x)=（x+1)^n-1-x^n，那么f'(x)=n(x+1)^(n-1)-nx^(n-1),若n> =1,则f'(x)>=0,f(x)>f(0)=0;若n<1，f(x)递减，f(x)<f(0)=0.

非常感谢。也即（A+B）^n>=A^n+B^n,是吗？
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3楼2016-04-22 15:33:03
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baique

银虫 (小有名气)
问题补充:
(A + B)的n次方分之一， 与A的n次方分之一和B的n次方分之一的和有没有大小关系呢？
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4楼2016-04-22 15:35:20
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by baique at 2016-04-22 15:33:03
非常感谢。也即（A+B）^n>=A^n+B^n,是吗？...

n>=1的话就是
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5楼2016-04-22 15:41:43
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by baique at 2016-04-22 15:35:20
问题补充:
(A + B)的n次方分之一， 与A的n次方分之一和B的n次方分之一的和有没有大小关系呢？

右边大
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6楼2016-04-22 15:43:53
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i维数

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
4楼: Originally posted by baique at 2016-04-22 15:35:20
问题补充:
(A + B)的n次方分之一， 与A的n次方分之一和B的n次方分之一的和有没有大小关系呢？

左边<1/A^n<右边
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7楼2016-04-22 15:45:46
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baique

银虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by i维数 at 2016-04-22 15:45:46
左边<1/A^n<右边...

我快晕了。

那么左边应该<右边的四分之一。
还想知道，这个四分之一还能不能再小点儿呢？比如八分之一？
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8楼2016-04-22 15:58:52
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baique

银虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by i维数 at 2016-04-22 15:45:46
左边<1/A^n<右边...

真的非常感谢你。
我猜可以小于右边的2^(n+2)分之一，你觉得可能吗？
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9楼2016-04-22 16:01:25
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