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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教： A,B>0, n>0, 那么
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baique

银虫 (小有名气)

[求助] 请教： A,B>0, n>0, 那么已有2人参与

(A + B)的n次方与A的n次方+ B的n次方有没有大小关系？谢谢。
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1楼2016-04-22 14:38:53
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by baique at 2016-04-22 15:35:20
问题补充:
(A + B)的n次方分之一， 与A的n次方分之一和B的n次方分之一的和有没有大小关系呢？

右边大
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6楼2016-04-22 15:43:53
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i维数

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
有的。作商后等价于比较（x+1)^n与1+x^n的大小关系，其中x=A/B>0.令f(x)=（x+1)^n-1-x^n，那么f'(x)=n(x+1)^(n-1)-nx^(n-1),若n> =1,则f'(x)>=0,f(x)>f(0)=0;若n<1，f(x)递减，f(x)<f(0)=0.
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2楼2016-04-22 15:16:40
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baique

银虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by i维数 at 2016-04-22 15:16:40
有的。作商后等价于比较（x+1)^n与1+x^n的大小关系，其中x=A/B>0.令f(x)=（x+1)^n-1-x^n，那么f'(x)=n(x+1)^(n-1)-nx^(n-1),若n> =1,则f'(x)>=0,f(x)>f(0)=0;若n<1，f(x)递减，f(x)<f(0)=0.

非常感谢。也即（A+B）^n>=A^n+B^n,是吗？
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3楼2016-04-22 15:33:03
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baique

银虫 (小有名气)
问题补充:
(A + B)的n次方分之一， 与A的n次方分之一和B的n次方分之一的和有没有大小关系呢？
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4楼2016-04-22 15:35:20
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