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nnn233

新虫 (初入文坛)

[求助] 求助 实变函数 已有1人参与

完备集的交是完备集吗

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1楼 2016-03-21 19:46:55
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
是的，根据定义，完备集是柯西序列都收敛到自身点的集合。如果有两个完备集A,B, 他们的交中的柯西序列也收敛到交中。任意交可以类似的证明。
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2楼2016-03-22 10:39:13
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
nnn233(Edstrayer代发): 金币+1 2016-05-21 04:23:37
引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2016-03-22 10:39:13
是的，根据定义，完备集是柯西序列都收敛到自身点的集合。如果有两个完备集A,B, 他们的交中的柯西序列也收敛到交中。任意交可以类似的证明。

不一定.

比如, 取[0,1]闭区间上的Cantor三分集 A, 再取 [-1,0]上另外一个Cantor三分集 B, 平移B使得 A 和B  相交于一点, 则交集 根本谈不上 完备集.

完备集要求其中的每一个点都是自己的聚点, 因此至少要由 不可数个点构成.
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We_must_know. We_will_know.
3楼2016-05-20 02:41:00
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2016-03-22 10:39:13
是的，根据定义，完备集是柯西序列都收敛到自身点的集合。如果有两个完备集A,B, 他们的交中的柯西序列也收敛到交中。任意交可以类似的证明。

不一定.

比如, 取[0,1]闭区间上的Cantor三分集 A, 再取 [-1,0]上另外一个Cantor三分集 B, 平移B使得 A 和B  相交于一点, 则交集 根本谈不上 完备集.

完备集要求其中的每一个点都是自己的聚点, 因此至少要由 不可数个点构成.
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We_must_know. We_will_know.
4楼2016-05-20 02:41:18
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