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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 【求助】关于量子力学的数学基础
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mozhui

[交流] 【求助】关于量子力学的数学基础

关于量子力学所研究的波函数究竟是怎么样的一个函数集合？有精确的数学定义吗？看到有的教材上写的是“平方可积的函数但是不排除一些理想的非平方可积波函数如平面波，delta函数等”，感觉这样的表述对波函数的范围的定义还是有点不清晰，究竟不排除哪些呢？感觉对一切波函数所属的函数集合在数学上的精确定义似乎是必要的，比如，在理论上讨论一个算符的厄密性时中的“对任意波函数成立”的条件中的“任意”的范围时，还请大家不吝赐教
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1楼 2008-10-18 23:31:16
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mozhui

引用回帖:
Originally posted by phyfriday at 2008-10-20 14:34:
个人认为：对于波函数，首先波函数是在物理上最先提出来的，用来描述微观粒子在空间（位形空间或动量空间）物理量的分布的概率。基于此，波函数必须满足单值、归一和连续，这些都是物理的要求，这也是波函数的物理 ...

谢谢你的参与！
我的想法是，对于一个像量子力学这样的理论体系，需要一个严密的数学框架，使得这个理论在这个框架内的结论在数学上是完全精确和自洽的。比如，像我在上面所提到的动量算符的形式，在波函数任意的情况下并不能保证是厄密的，而作为可观测量的动量，其对应的力学算符应该是厄密的（是这样吗?），也就是说，只有在波函数集合局限于某个范围内时才可采取这种形式的动量算符，而超出了这个范围，就没有理由再采用这个形式的动量算符了。所以，我觉得设定波函数严格的范围对于力学量算符的选择是必要的，而不应该先先入为主的选择一个力学量再用它来选择波函数，波函数对于力学量算符的选择应该处于决定地位而不是相反的
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14楼2008-10-20 15:04:05
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iamsad

至尊木虫 (著名写手)
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2楼2008-10-19 00:47:43
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
★ ★
fenghbu(金币+2,VIP+0):thanks
要详细了解量子力学的数学基础，最好去看如下四卷书。
Michael.Reed & Barry.Simon
Methods Of Modern Mathematical Physics I-IV

前两卷主要讲量子力学要用到的泛函分析和傅立叶分析，后两卷主要讲微扰、散射、束缚态的本征值问题的数学理论。
不过微绕讲得比较简单。

看完了这些，量子力学的数学理论体系的大部分可以搞清楚了，但是角动量的数学理论这四卷书基本没提。角动量的数学基础是群表示论、微分几何/流形。这是更加恶心的东西。

[ Last edited by lxd_bruce on 2008-10-19 at 08:06 ]
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3楼2008-10-19 07:59:30
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mozhui

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Originally posted by iamsad at 2008-10-19 00:47:
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4楼2008-10-19 10:00:11
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