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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 【求助】关于量子力学的数学基础
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mozhui

[交流] 【求助】关于量子力学的数学基础

关于量子力学所研究的波函数究竟是怎么样的一个函数集合？有精确的数学定义吗？看到有的教材上写的是“平方可积的函数但是不排除一些理想的非平方可积波函数如平面波，delta函数等”，感觉这样的表述对波函数的范围的定义还是有点不清晰，究竟不排除哪些呢？感觉对一切波函数所属的函数集合在数学上的精确定义似乎是必要的，比如，在理论上讨论一个算符的厄密性时中的“对任意波函数成立”的条件中的“任意”的范围时，还请大家不吝赐教
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1楼2008-10-18 23:31:16
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iamsad

至尊木虫 (著名写手)
泛函分析有沒有學過?先熟悉熟悉Hilbert空間再?碛懻�
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2楼2008-10-19 00:47:43
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
★ ★
fenghbu(金币+2,VIP+0):thanks
要详细了解量子力学的数学基础，最好去看如下四卷书。
Michael.Reed & Barry.Simon
Methods Of Modern Mathematical Physics I-IV

前两卷主要讲量子力学要用到的泛函分析和傅立叶分析，后两卷主要讲微扰、散射、束缚态的本征值问题的数学理论。
不过微绕讲得比较简单。

看完了这些，量子力学的数学理论体系的大部分可以搞清楚了，但是角动量的数学理论这四卷书基本没提。角动量的数学基础是群表示论、微分几何/流形。这是更加恶心的东西。

[ Last edited by lxd_bruce on 2008-10-19 at 08:06 ]
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3楼2008-10-19 07:59:30
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mozhui

引用回帖:
Originally posted by iamsad at 2008-10-19 00:47:
泛函分析有沒有學過?先熟悉熟悉Hilbert空間再?碛懻�

学过一点泛函分析，也知道希尔伯特空间(完备的赋范空间)，但如果你稍微了解一点希尔伯特空间，那么你应该知道在量子力学所赋的范数的意义下希尔伯特空间是不包含单色平面波函数的。。。。
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4楼2008-10-19 10:00:11
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mozhui

更正一下，上面希尔伯特空间的定义应该改为完备的内积空间，范数是由内积引入的。。
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5楼2008-10-19 10:02:27
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mozhui

引用回帖:
Originally posted by lxd_bruce at 2008-10-19 07:59:
要详细了解量子力学的数学基础，最好去看如下四卷书。
Michael.Reed & Barry.Simon
Methods Of Modern Mathematical Physics I-IV

前两卷主要讲量子力学要用到的泛函分析和傅立叶分析，后两卷主要讲微扰 ...

谢谢！能给我这本书的下载链接吗？
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6楼2008-10-19 10:11:14
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by mozhui at 2008-10-19 10:11:



谢谢！能给我这本书的下载链接吗？

Emule上有。
如果嫌慢，可以去如下网址搜索。
http://www.ebookee.com/
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7楼2008-10-19 12:36:46
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by mozhui at 2008-10-19 10:00:


学过一点泛函分析，也知道希尔伯特空间(完备的赋范空间)，但如果你稍微了解一点希尔伯特空间，那么你应该知道在量子力学所赋的范数的意义下希尔伯特空间是不包含单色平面波函数的。。。。

平面波函数和delta函数不属于希尔伯特空间，它们是散射态（游离态）波函数，它们是希尔伯特空间的完备子空间（Frechet空间或者Sobolev空间）上的连续线性泛函（或者叫广义函数），在散射理论上会用到。

[ Last edited by lxd_bruce on 2008-10-19 at 12:52 ]
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8楼2008-10-19 12:47:48
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mozhui

引用回帖:
Originally posted by lxd_bruce at 2008-10-19 12:47:


平面波函数和delta函数不属于希尔伯特空间，它们是散射态（游离态）波函数，它们是希尔伯特空间的完备子空间（Frechet空间或者Sobolev空间）上的连续线性泛函（或者叫广义函数），在散射理论上会用到。

[ ...

如您所说，希尔伯特空间没有包括所有的波函数集合，那么关于这所有波函数的集合是否像希尔伯特空间那样已被抽象出来进行系统的研究了呢？如果是，这个新的集合在数学上的名字是什么呢？
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9楼2008-10-19 17:00:42
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fyl7

铁杆木虫 (正式写手)
那些加进来的函数是物理学的需要，数学上好像不允许，尤其是严格的Hilbert空间，但又可以进一步推广。不用太在意这些东西，关键是物理含义。
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10楼2008-10-19 23:05:33
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