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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 如何证明序列1.4 、1.41、 1.414 、1.4142、 1.41421.....是一个柯西序列
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柳若风飘

新虫 (小有名气)

[求助] 如何证明序列1.4 、1.41、 1.414 、1.4142、 1.41421.....是一个柯西序列 已有2人参与

求助

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1楼 2016-01-04 23:53:02
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woshiqiujun

新虫 (正式写手)
对任何正数eps存在正整数N使得2/10^N小于eps而对于任何不小于N的整数k,j来说aj-ak的绝对值不大于2/10^N 完毕

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2楼2016-01-05 00:14:30
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柳若风飘

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by woshiqiujun at 2016-01-05 00:14:30
对任何正数eps存在正整数N使得2/10^N小于eps而对于任何不小于N的整数k,j来说aj-ak的绝对值不大于2/10^N 完毕

aj-ak为什么小于2*10-n

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3楼2016-01-05 00:23:37
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lijingrong11

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
您必须给出这个数列的定义，即怎样生成的？（仅列出这些项只能让人猜想是根号2了，但没法严格证明。所以得想法给出它的定义）
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4楼2016-01-05 10:55:26
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
首先，该数列单调增且有上界，所以该数列必收敛。
其次，由数列收敛的充要条件可知，该数列必为柯西列。
----------------------------------
另，直接用定义也能证明结论。
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凡事，一笑而过。。。。。。
5楼2016-01-06 12:41:05
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柳若风飘

新虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by hylpy at 2016-01-06 12:41:05
首先，该数列单调增且有上界，所以该数列必收敛。
其次，由数列收敛的充要条件可知，该数列必为柯西列。
----------------------------------
另，直接用定义也能证明结论。

如何用定义证明

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6楼2016-01-06 17:23:48
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说啥事服

新虫 (小有名气)
数列可以是取根号二去取n位小数，这就可以解决。入楼上所说，比如后面省略的都取3一样可以收敛

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7楼2016-01-07 11:13:13
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