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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于测度的问题
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rbysdzyga

捐助贵宾 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by yxwei at 2015-12-19 20:21:59
有限可加性是可数可加性的特殊情况，一般的长度只有有限可加性，后来人们想办法把长度这个概念推广到一般度量，但是有限可加性就不够用啦。另外无理数不是可数的，所以不能直接用测度的知识去计算，只能反过来先算 ...

这个不够用是在什么问题上不够用了？
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11楼2015-12-19 21:24:51
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mygt_hit

专家顾问 (职业作家)
sigma代数是一个集类，即集合的集合，其中的每个元素都是一个集合。这些集合需要满足一定的性质，主要是对补运算和可数次运算并封闭。
有人说sigma代数其实是服务于“加法”的，主要是可数次加。
测度是长度、面积、体积等概念的推广，适用范围更广，对一些抽象的集合也可以定义“长度”，例如随机事件的测度就是概率；内涵更加丰富，对同一个空间可以定义不同的测度，比如勒贝格测度、概率测度等。
可数加我也解释不了。但有一些例子可以参考，比如[0,1]上所有有理数的集合是可数的，单个有理数的测度是0，由可数可加性，[0,1]上所有有理数集合的测度还是0. 而对于[0,1]本身，由无穷多个点构成，单个点测度是0，但无穷个点之和则不是0，不符合可加性了。
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知其然，知其所以然。
12楼2015-12-20 00:09:31
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rbysdzyga

捐助贵宾 (正式写手)
引用回帖:
12楼: Originally posted by mygt_hit at 2015-12-20 00:09:31
sigma代数是一个集类，即集合的集合，其中的每个元素都是一个集合。这些集合需要满足一定的性质，主要是对补运算和可数次运算并封闭。
有人说sigma代数其实是服务于“加法”的，主要是可数次加。
测度是长度、面积 ...

谢谢！
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13楼2015-12-20 08:38:57
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yxwei

木虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by yxwei at 2015-12-19 20:21:59
有限可加性是可数可加性的特殊情况，一般的长度只有有限可加性，后来人们想办法把长度这个概念推广到一般度量，但是有限可加性就不够用啦。另外无理数不是可数的，所以不能直接用测度的知识去计算，只能反过来先算 ...

主要是长度只有有限可加，但是存在无限可加的情况，所以不能简单的用长度公理来作为度量公理，差不多就是这样的。

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14楼2015-12-20 09:41:34
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rbysdzyga

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引用回帖:
14楼: Originally posted by yxwei at 2015-12-20 09:41:34
主要是长度只有有限可加，但是存在无限可加的情况，所以不能简单的用长度公理来作为度量公理，差不多就是这样的。
...

无限可加的好处是可以取极限吗？
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15楼2015-12-20 10:22:40
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