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魅影xiao

新虫 (小有名气)

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[求助] 几何数学题，中学还是小学的啊。数学不好求数学系的虫友们帮帮忙，俺可丢大脸了已有1人参与

Rt△ABC和Rt△CDE中,∠BAC=∠CDE=90°,AB=AC,CD=DE,BM=ME.求证①AM=DM,②AM⊥DM

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1楼 2015-12-10 10:34:38

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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Edstrayer: 金币+5, Latex 应助 2015-12-11 01:08:46
Edstrayer: 金币+5, Latex 应助 2015-12-11 01:12:55

楼主已经解决了问题，我来画蛇添足吧

设 AB=x, CD=y, 角CBM=a, 角CEM=b, 那么由C到BE 的距离得到约束条件 x sin(a)=y sin(b)

设m 为BE 的一半，则 $m=\frac{\sqrt{2}x\cdot \cos{a}+\sqrt{2}y\cdot \cos{b}}{2}$

第一问 AM=DM 等价于 $(x\cdot \sin(a+\frac{\pi}{4}))^2+(m-x\cdot \cos(a+\frac{\pi}{4}))^2=(y\cdot \sin(b+\frac{\pi}{4}))^2+(m-y\cdot \cos(b+\frac{\pi}{4}))^2$

即 $x^2-y^2=2m(x\cdot \cos(a+\frac{\pi}{4})-y\cdot \cos(b+\frac{\pi}{4}))$

代入m表达式，即 $x^2-y^2=(x\cos{a}+y\cos{b})(x(\cos{a}-\sin{a})-y(\cos{b}-\sin{b}))$
楼主可以验算，在条件x sin(a)=y sin(b) 下，这是个恒等式。搞定。

第二问麻烦点。先证明在条件x sin(a)=y sin(b) 下，有
$(x\sin(a+\frac{\pi}{4}))^2+(y\sin(b+\frac{\pi}{4}))^2=x^2+m^2-2mx\cos(a+\frac{\pi}{4})$ 右端其实就是上面刚得到的 AM^2 (=DM^2),

于是 $\sin^2(\mathrm{AMB})+\sin^2(\mathrm{DME})=(\frac{x\sin(a+\frac{\pi}{4})}{AM})^2+(\frac{y\sin(b+\frac{\pi}{4})}{DM})^2=1$ ,
从而角AMB 和角 DME 互余，搞定。

这算是中学的内容。如果是小学题，我反正是做不出来的。江湖后浪推前浪，前浪死在沙滩上