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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求一个极限。
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huangbl2014

铜虫 (著名写手)

[求助] 求一个极限。 已有2人参与

求极限Limit[n^2 ln(n*tan[1/n]), n -> \[Infinity]]. 如图。要求不能用泰勒展开做。

求一个极限。
microMsg.1449233713372.jpg
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1楼 2015-12-04 21:28:04
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weiweiai

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

n^2*ln(n*tan(1/n))=n^2*(n*tan(1/n)-1)=n^2*(tan(1/n)-(1/n))/(1/n)
令t=(1/n),化简得到lim（tant-t)/t^3,洛必达法则化为lim((sect)^2-1)/t^3=lim((tant)^2)/(3t^2)=1/3
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9楼2015-12-04 23:02:30
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
huangbl2014: 金币+20, ★★★很有帮助 2015-12-04 22:32:42
等价无穷小代换
tan(1/n)~1/n+1/n^3/3
n*tan(1/n)~1+1/n^2/3
ln(1+1/n^2/3)~1/n^2/3
n^2*ln(1+1/n^2/3)→1/3
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
2楼2015-12-04 21:59:19
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huangbl2014

铜虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2015-12-04 21:59:19
等价无穷小代换
tan(1/n)~1/n+1/n^3/3
n*tan(1/n)~1+1/n^2/3
ln(1+1/n^2/3)~1/n^2/3
n^2*ln(1+1/n^2/3)→1/3

说了，不能用泰勒展开。
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3楼2015-12-04 22:03:28
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)
引用回帖:
3楼: Originally posted by huangbl2014 at 2015-12-04 22:03:28
说了，不能用泰勒展开。...

你认为哪里用了泰勒展开?
tan(1/n)~1/n+1/n^3/3这个可以用罗比达法则证明啊!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
4楼2015-12-04 22:06:52
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