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mathematic

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[求助] 求助证明，测度论中:内测度小于等于外测度(见图) 已有1人参与

测度论中:内测度小于等于外测度

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1楼 2015-12-04 07:44:44

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
mathematic: 金币+1, ★有帮助 2015-12-07 06:48:01
mathematic: 金币+1, ★有帮助 2015-12-07 07:03:46
Edstrayer: 金币+5, Latex应助 2015-12-08 00:16:02

这道有意思基础题被淹没了。
证明第一个不等号：
Let $\sup{E_1}(A)=\alpha$ , then for any $\varepsilon>0$ , there exists ${B_n}$ and $\bigcup\limits_nB_n \subset A$ such that
$\alpha -\varepsilon< \sum\limits_n \mu (B_n)$
However, for all $A \subset \bigcup\limits_n A_n$ , by the property of countably additivity of the measure, we have that
$\sum\limits_n\mu (B_n)\le\sum\limits_n\mu (A_n)$
Therefore, $\alpha -\varepsilon\le\sum\limits_n\mu (A_n)$ for any $A \subset\bigcup\limits_nA_n$ which directly implies that
$\alpha -\varepsilon\le\inf{E_2}(A)$
Since $\varepsilon>0$ is arbitrary, put $\varepsilon\to 0$ and we then complete our first proof.

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理论改变世界！

2楼2015-12-06 09:22:41

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mathematic

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2楼: Originally posted by junefi at 2015-12-06 09:22:41
这道有意思基础题被淹没了。
证明第一个不等号：
Let \sup{E_1}(A)=\alpha, then for any \varepsilon>0, there exists {B_n} and \bigcup\limits_n {{B_n}} \subset A such that
\alpha - \varepsilon & ...

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舍得得舍

3楼2015-12-07 06:46:47

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4楼2015-12-07 07:03:22

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3楼: Originally posted by mathematic at 2015-12-07 06:46:47
看不见内容
...

手机可能不支持latex，用网页应该可以看到，不过有些乱码，内容中的双问号(??)请忽略！

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理论改变世界！

5楼2015-12-07 10:08:06

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半集代数S中并运算不封闭，从而虽然A_n\in S（n=1,2,...），但 $\sum_{n=1}^{+\infty}$ A_n不一定属于半集代数S，因此测度可数可加性不能运用，即\mu(\sum_{n=1}^{+\infty}[/latex]A_n)无意义。

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舍得得舍

6楼2015-12-07 22:13:01

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6楼: Originally posted by mathematic at 2015-12-07 22:13:01
半集代数S中并运算不封闭，从而虽然A_n\in S（n=1,2,...），但\sum_{n=1}^{+\infty}A_n不一定属于半集代数S，因此测度可数可加性不能运用，即\mu(\sum_{n=1}^{+\infty}A_n)无意义。...

因半集代数S中并运算不封闭，从而虽然 $\{A_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset S$ ，但 $\sum_{n=1}^{+\infty}A_n$ 不一定属于半集代数S，因此 $\mu(\sum_{n=1}^{+\infty}A_n)$ 无意义。可数可加性使用不了的。

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舍得得舍

7楼2015-12-07 22:17:33

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junefi

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7楼: Originally posted by mathematic at 2015-12-07 22:17:33
因半集代数S中并运算不封闭，从而虽然\{A_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset S ，但\sum_{n=1}^{+\infty}A_n不一定属于半集代数S，因此\mu(\sum_{n=1}^{+\infty}A_n)无意义。可数可加性使用不了的。...

您说得对。能不能定义一下半集代数和具有的性质？我在Wikipedia也找不到它的定义。

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8楼2015-12-08 09:39:43

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8楼: Originally posted by junefi at 2015-12-08 09:39:43
您说得对。能不能定义一下半集代数和具有的性质？我在Wikipedia也找不到它的定义。...

Ω上半集代数S定义(见图)，比Ω上半环W的定义弱(半环W不要求包含Ω)

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舍得得舍

9楼2015-12-08 12:11:45

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