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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 泰勒公式
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Veren Elen

新虫 (初入文坛)

[求助] 泰勒公式 已有5人参与

为什么n+1阶可导函数可以用n阶泰勒公式表示？为什么函数能用级数来表示呢？
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1楼 2015-11-07 16:01:15
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
之所以能够这样做是因为有数学上的严格的证明的。同样的，满足一定条件的函数不但能用幂级数表达，还可以用三角函数表达成傅立叶级数。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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5楼2015-11-07 19:03:22
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查看全部 9 个回答

人民海军

木虫 (职业作家)
简单的说，当函数有n+1阶导数时，光滑性就足够好，当我们用n阶泰勒公式展开近似时，其近似误差就可以严格估计，就是后面的余项。当任意阶可导时，n趋近于无穷大时泰勒展开式均成立，切余项趋近于零，就成了泰勒级数

发自小木虫Android客户端
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Letbygonesbebygones.
2楼2015-11-07 16:31:12
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0404600213

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Edstrayer: 金币+2 2015-11-08 01:15:01
我估计你的老师讲泰勒公式的时候没讲证明

泰勒公式可以从微分求近似值的公式和洛必达法则得到的。

因为f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+r1(x)，根据导数的定义我们知道r1(x)是x-x0的高阶无穷小
如果f(x)二阶可导，那么r1(x)也应该是二阶可导的
两次运用洛必达法则可以证明 当x趋向x0时,[r1(x)-r1(x0)]/(x-x0)^2的极限是f''(x0)/2!
所以r1(x)=[f''(x0)/2!]*(x-x0)^2+r2(x)，其中r2(x)是(x-x0)^2的高阶无穷小
把r1(x)的表达式代入最上面的式子可以得到二阶泰勒公式

以此类推可以得到n阶泰勒公式
至于为什么n+1阶导才有n阶泰勒公式是因为在写余项的时候需要用拉格朗日中值定理估值，而拉格朗日定理又要求函数可导……所以……
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3楼2015-11-07 17:11:17
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0404600213

金虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by 0404600213 at 2015-11-07 17:11:17
我估计你的老师讲泰勒公式的时候没讲证明

泰勒公式可以从微分求近似值的公式和洛必达法则得到的。

因为f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+r1(x)，根据导数的定义我们知道r1(x)是x-x0的高阶无穷小
如果f(x)二阶可导，那 ...

但是按我的理解，如果只写裴亚罗余项而不是拉格朗日余项的话，实际上n阶泰勒公式只需要n阶可导就行了
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4楼2015-11-07 17:13:02
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