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泰勒公式 已有5人参与
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| 为什么n+1阶可导函数可以用n阶泰勒公式表示？为什么函数能用级数来表示呢？ |
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0404600213
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4楼2015-11-07 17:13:02
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简单的说，当函数有n+1阶导数时，光滑性就足够好，当我们用n阶泰勒公式展开近似时，其近似误差就可以严格估计，就是后面的余项。当任意阶可导时，n趋近于无穷大时泰勒展开式均成立，切余项趋近于零，就成了泰勒级数 发自小木虫Android客户端 |
2楼2015-11-07 16:31:12
0404600213
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【答案】应助回帖
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Edstrayer: 金币+2 2015-11-08 01:15:01
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Edstrayer: 金币+2 2015-11-08 01:15:01
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我估计你的老师讲泰勒公式的时候没讲证明 泰勒公式可以从微分求近似值的公式和洛必达法则得到的。 因为f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+r1(x)，根据导数的定义我们知道r1(x)是x-x0的高阶无穷小 如果f(x)二阶可导，那么r1(x)也应该是二阶可导的 两次运用洛必达法则可以证明 当x趋向x0时,[r1(x)-r1(x0)]/(x-x0)^2的极限是f''(x0)/2! 所以r1(x)=[f''(x0)/2!]*(x-x0)^2+r2(x)，其中r2(x)是(x-x0)^2的高阶无穷小 把r1(x)的表达式代入最上面的式子可以得到二阶泰勒公式 以此类推可以得到n阶泰勒公式 至于为什么n+1阶导才有n阶泰勒公式是因为在写余项的时候需要用拉格朗日中值定理估值，而拉格朗日定理又要求函数可导……所以…… |
3楼2015-11-07 17:11:17
peterflyer 
木虫之王 (文学泰斗)
peterflyer
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